Задача 1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющ начальному условию у(4) = 1: y' = - y x

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Запишем его в виде:

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \]

Разделим переменные:

\[ \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x} \]

Проинтегрируем обе части уравнения:

\[ \int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{x} \]

Получим:

\[ \ln|y| = -\ln|x| + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная.

Преобразуем выражение:

\[ \ln|y| + \ln|x| = C \]

Используя свойства логарифмов:

\[ \ln|xy| = C \]

Потенцируем обе части:

\[ |xy| = e^C \]

Пусть \( A = \pm e^C \), тогда:

\[ xy = A \]

или

\[ y = \frac{A}{x} \]

Это общее решение дифференциального уравнения.

Теперь найдём частное решение, используя начальное условие \( y(4) = 1 \).

Подставим \( x=4 \) и \( y=1 \) в общее решение:

\[ 1 = \frac{A}{4} \]

Отсюда находим \( A \):

\[ A = 4 \]

Подставим значение \( A \) в общее решение:

\[ y = \frac{4}{x} \]

Ответ: y = 4/x.