Задача 1. Найдите работу, которую надо совершить, чтобы лежащий на полу однородный стержень, масса которого 4 кг и длина 3 м, расположить под углом 30° к горизонтали.

Решение:

Для того чтобы поднять стержень и расположить его под углом к горизонтали, необходимо совершить работу против силы тяжести. Работа определяется как изменение потенциальной энергии стержня.

1. Дано:
   • Масса стержня \( m = 4 \) кг
   • Длина стержня \( l = 3 \) м
   • Угол наклона \( \alpha = 30^{\circ} \)
   • Ускорение свободного падения \( g \approx 9.8 \) м/с²
2. Найти: Работа \( A \)
3. Решение:
4. Работа, совершённая для поднятия стержня, равна изменению его потенциальной энергии: \( A = \Delta E_p = E_{p_{конечная}} - E_{p_{начальная}} \)
5. Начальная потенциальная энергия стержня, лежащего на полу, равна нулю: \( E_{p_{начальная}} = 0 \).
6. Конечная потенциальная энергия стержня определяется высотой его центра масс над полом. Центр масс однородного стержня находится посередине. Когда стержень расположен под углом \( \alpha \) к горизонтали, высота его центра масс \( h \) над полом равна: \( h = \frac{l}{2} \sin(\alpha) \)
7. Тогда конечная потенциальная энергия: \( E_{p_{конечная}} = mgh = mg \frac{l}{2} \sin(\alpha) \)
8. Следовательно, работа равна: \( A = mg \frac{l}{2} \sin(\alpha) \)
9. Подстановка значений:
10. \( A = 4 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{3 \text{ м}}{2} \cdot \sin(30^{\circ}) \)
11. \( A = 4 \cdot 9.8 \cdot 1.5 \cdot 0.5 \)
12. \( A = 9.8 \cdot 3 \)
13. \( A = 29.4 \) Дж

Ответ: Работа равна 29.4 Дж.