Задача 1. Дан двухступенчатый стальной брус, длины ступеней которого указаны на схеме, нагружен силами F₁ = 16 кн, F₂ = 15 кн, F₃ = 12 кн. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение Δl свободного конца бруса, приняв E = 2 х 10⁵ Мпа, если площади поперечных сечений ступеней А₁ = 1,5 см², А₂ = 3,7 см².

Разбираемся:

Эта задача по сопромату. Нам нужно построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, а также найти перемещение свободного конца бруса. Для этого будем последовательно анализировать каждый участок.

Пошаговое решение:

1. Определение продольных сил (N) на каждом участке:

Для начала определим, как действуют силы. Брус защемлен слева, поэтому справа действует сила F₁ = 16 кН, F₂ = 15 кН, F₃ = 12 кН.

• Участок 1 (левый, длина 0,6 м): Рассматриваем сечение, которое разрезает этот участок. Сила F₃ действует вправо. Чтобы уравновесить её, в сечении должен действовать внутренний сила N₁ в противоположном направлении (влево). N₁ = -12 кН (растяжение).
• Участок 2 (средний, длина 0,4 м): Сечение здесь рассекает и F₃, и F₂. Сила F₃ действует влево (-12 кН), а F₂ действует вправо (+15 кН). Суммарная сила слева от сечения: -12 кН + 15 кН = 3 кН. Значит, в сечении действует сила N₂ = 3 кН (сжатие), чтобы уравновесить. N₂ = +3 кН (сжатие).
• Участок 3 (правый, длина 0,1 м): Сечение рассекает F₃, F₂, F₁. F₃ действует влево (-12 кН), F₂ действует вправо (+15 кН), F₁ действует вправо (+16 кН). Суммарная сила слева от сечения: -12 кН + 15 кН + 16 кН = 19 кН. Значит, в сечении действует сила N₃ = -19 кН (растяжение), чтобы уравновесить. N₃ = -19 кН (растяжение).

2. Построение эпюры продольных сил:

• На участке 1: N = -12 кН.
• На участке 2: N = +3 кН.
• На участке 3: N = -19 кН.

3. Расчет нормальных напряжений (σ) на каждом участке:

Используем формулу: \( ext{σ} = rac{N}{A} \), где A — площадь поперечного сечения.

• Участок 1: Площадь A₁ = 1,5 см². σ₁ = \( rac{-12 ext{ кН}}{1.5 ext{ см}^2} \) = \( rac{-12000 ext{ Н}}{1.5 imes 10^{-4} ext{ м}^2} \) = \( -80 imes 10^6 ext{ Па} \) = -80 МПа (растягивающее).
• Участок 2: Площадь A₂ = 3,7 см². σ₂ = \( rac{+3 ext{ кН}}{3.7 ext{ см}^2} \) = \( rac{3000 ext{ Н}}{3.7 imes 10^{-4} ext{ м}^2} \) ≈ \( 8.11 imes 10^6 ext{ Па} \) ≈ +8.11 МПа (сжимающее).
• Участок 3: Площадь A₁ = 1,5 см². σ₃ = \( rac{-19 ext{ кН}}{1.5 ext{ см}^2} \) = \( rac{-19000 ext{ Н}}{1.5 imes 10^{-4} ext{ м}^2} \) ≈ \( -126.67 imes 10^6 ext{ Па} \) ≈ -126.67 МПа (растягивающее).

4. Построение эпюры нормальных напряжений:

• На участке 1: σ = -80 МПа.
• На участке 2: σ = +8.11 МПа.
• На участке 3: σ = -126.67 МПа.

5. Расчет перемещения (Δl) свободного конца бруса:

Используем формулу: \( ext{Δ}l = rac{N imes L}{A imes E} \), где L — длина участка, E — модуль упругости.

• Перемещение участка 1 (Δl₁): \( ext{Δ}l_1 = rac{-12 ext{ кН} imes 0.6 ext{ м}}{1.5 ext{ см}^2 imes 2 imes 10^5 ext{ МПа}} \) = \( rac{-12000 ext{ Н} imes 0.6 ext{ м}}{1.5 imes 10^{-4} ext{ м}^2 imes 2 imes 10^{11} ext{ Па}} \) = \( rac{-7200}{30000} \) = -0.24 мм.
• Перемещение участка 2 (Δl₂): \( ext{Δ}l_2 = rac{+3 ext{ кН} imes 0.4 ext{ м}}{3.7 ext{ см}^2 imes 2 imes 10^5 ext{ МПа}} \) = \( rac{3000 ext{ Н} imes 0.4 ext{ м}}{3.7 imes 10^{-4} ext{ м}^2 imes 2 imes 10^{11} ext{ Па}} \) = \( rac{1200}{740000} \) ≈ +0.0016 мм.
• Перемещение участка 3 (Δl₃): \( ext{Δ}l_3 = rac{-19 ext{ кН} imes 0.1 ext{ м}}{1.5 ext{ см}^2 imes 2 imes 10^5 ext{ МПа}} \) = \( rac{-19000 ext{ Н} imes 0.1 ext{ м}}{1.5 imes 10^{-4} ext{ м}^2 imes 2 imes 10^{11} ext{ Па}} \) = \( rac{-1900}{30000} \) ≈ -0.633 мм.

Общее перемещение свободного конца (Δl):

Суммируем перемещения всех участков: \( ext{Δ}l = ext{Δ}l_1 + ext{Δ}l_2 + ext{Δ}l_3 \) = \( -0.24 ext{ мм} + 0.0016 ext{ мм} - 0.633 ext{ мм} \) ≈ -0.8714 мм.

Ответ:

• Эпюра продольных сил: На участке 1 — -12 кН, на участке 2 — +3 кН, на участке 3 — -19 кН.
• Эпюра нормальных напряжений: На участке 1 — -80 МПа, на участке 2 — +8.11 МПа, на участке 3 — -126.67 МПа.
• Перемещение свободного конца: ≈ -0.8714 мм (знак минус означает, что брус сжимается и перемещается влево, к заделке).