ЗАДАЧА 16. (Всеросс., 2017, ШЭ, 10) Идеальный амперметр в це- пи, схема которой изображена на рисунке, показывает силу тока 1 = 9 мА. Определите сопротивление резистора R, если напряжение идеального источника U = 6 B.

Решение:

1. Шаг 1: Анализ схемы
• Резисторы II и III соединены последовательно, поэтому их общее сопротивление равно: R₂₃ = 2R + 2R = 4R.
2. Шаг 2: Упрощение схемы
• Резисторы I и R₂₃ соединены параллельно. Их общее сопротивление R₁₂₃ находим по формуле:
\[\frac{1}{R_{123}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{4R} = \frac{4 + 1}{4R} = \frac{5}{4R}\] \[R_{123} = \frac{4R}{5}\]
3. Шаг 3: Расчет общего сопротивления цепи
• Общее сопротивление цепи состоит из последовательного соединения R₁₂₃ и резистора IV (2R):
\[R_{общ} = R_{123} + 2R = \frac{4R}{5} + 2R = \frac{4R + 10R}{5} = \frac{14R}{5}\]
4. Шаг 4: Расчет общего тока в цепи
• Общий ток в цепи равен:
\[I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{6}{\frac{14R}{5}} = \frac{30}{14R} = \frac{15}{7R}\]
5. Шаг 5: Распределение тока
• Ток I_общ разделяется между резисторами I (R) и II+III (4R). Ток через амперметр (I) идет через резисторы II и III.
6. Шаг 6: Нахождение тока I
• При параллельном соединении, токи обратно пропорциональны сопротивлениям. Значит:
\[\frac{I}{I_{общ}} = \frac{R}{R + 4R} = \frac{R}{5R} = \frac{1}{5}\] \[I = \frac{1}{5} I_{общ} = \frac{1}{5} \cdot \frac{15}{7R} = \frac{3}{7R}\]
7. Шаг 7: Выражение R
\[I = 9 \text{ мА} = 0.009 \text{ А}\] \[0.009 = \frac{3}{7R}\] \[R = \frac{3}{7 \cdot 0.009} = \frac{3}{0.063} = \frac{3000}{63} = \frac{1000}{21} \approx 47.62 \text{ Ом}\]

Ответ: R ≈ 47.62 Ом