Задача 3. Решите уравнение \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x-3} = \frac{6}{x+6}. Задача 4. Решите уравнение (\frac{3x}{x+2})^4 - 8(\frac{3x}{x+2})^2 - 9 = 0.

Задача 3. Решите уравнение

Давай решим уравнение по шагам:

\[\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x-3} = \frac{6}{x+6}\]

Сначала перенесем все в одну сторону:

\[\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x-3} - \frac{6}{x+6} = 0\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{1(x-2)(x-3)(x+6) + 2(x-1)(x-3)(x+6) + 3(x-1)(x-2)(x+6) - 6(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x+6)} = 0\]

Упростим числитель:

\[\frac{(x^2 - 5x + 6)(x+6) + 2(x^2 - 4x + 3)(x+6) + 3(x^2 - 3x + 2)(x+6) - 6(x^2 - 3x + 2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x+6)} = 0\] \[\frac{x^3 + x^2 - 24x + 36 + 2(x^3 + 2x^2 - 21x + 18) + 3(x^3 + 3x^2 - 16x + 12) - 6(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x+6)} = 0\] \[\frac{x^3 + x^2 - 24x + 36 + 2x^3 + 4x^2 - 42x + 36 + 3x^3 + 9x^2 - 48x + 36 - 6x^3 + 36x^2 - 66x + 36}{(x-1)(x-2)(x-3)(x+6)} = 0\] \[\frac{(1+2+3-6)x^3 + (1+4+9+36)x^2 + (-24-42-48-66)x + (36+36+36+36)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x+6)} = 0\] \[\frac{0x^3 + 50x^2 - 180x + 144}{(x-1)(x-2)(x-3)(x+6)} = 0\] \[\frac{50x^2 - 180x + 144}{(x-1)(x-2)(x-3)(x+6)} = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[50x^2 - 180x + 144 = 0\] \[25x^2 - 90x + 72 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = (-90)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 72 = 8100 - 7200 = 900\]

Найдем корни:

\[x = \frac{-(-90) \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 25} = \frac{90 \pm 30}{50}\] \[x_1 = \frac{90 + 30}{50} = \frac{120}{50} = \frac{12}{5} = 2.4\] \[x_2 = \frac{90 - 30}{50} = \frac{60}{50} = \frac{6}{5} = 1.2\]

Проверим ОДЗ: x ≠ 1, 2, 3, -6

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x = 2.4, x = 1.2

Задача 4. Решите уравнение

\[(\frac{3x}{x+2})^4 - 8(\frac{3x}{x+2})^2 - 9 = 0\]

Пусть \[t = (\frac{3x}{x+2})^2\]

Тогда уравнение примет вид:

\[t^2 - 8t - 9 = 0\]

Решим квадратное уравнение для t:

По теореме Виета:

\[t_1 + t_2 = 8\] \[t_1 \cdot t_2 = -9\]

Корни: t_1 = 9, t_2 = -1

Вернемся к переменной x:

\[(\frac{3x}{x+2})^2 = 9\] \[(\frac{3x}{x+2})^2 = -1\]

Второй случай невозможен, так как квадрат не может быть отрицательным.

Рассмотрим первый случай:

\[(\frac{3x}{x+2})^2 = 9\] \[\frac{3x}{x+2} = \pm 3\]

Случай 1:

\[\frac{3x}{x+2} = 3\] \[3x = 3(x+2)\] \[3x = 3x + 6\] \[0 = 6\]

Нет решений.

Случай 2:

\[\frac{3x}{x+2} = -3\] \[3x = -3(x+2)\] \[3x = -3x - 6\] \[6x = -6\] \[x = -1\]

Проверим ОДЗ: x ≠ -2

x = -1 удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = -1

Отличная работа! Ты на верном пути, и я уверена, что у тебя все получится!