Задача 2. Преобразуйте в произведение: a) (6⁻⁵)⁻¹; б) (3/4⁻¹⁻³)⁻²; в) (-0,3⁻⁵⁴)⁻²; г) (7/8⁻⁶)⁻¹.

Ответ: a) \(\frac{a^5}{6b}\); б) \(\frac{16a^2b^6}{9}\); в) \(\frac{100x^{10}}{9y^8}\); г) \(\frac{8p^6}{7q}\)

Решение:

a) \((6a^{-5}b)^{-1}\)

• Применим свойство степени: \((ab)^n = a^n b^n\)
• \(6^{-1} (a^{-5})^{-1} b^{-1}\)
• Применим свойство степени: \((a^m)^n = a^{mn}\)
• \(6^{-1} a^{5} b^{-1}\)
• Применим свойство отрицательной степени: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
• \(\frac{1}{6} a^{5} \frac{1}{b}\)
• \(\frac{a^5}{6b}\)

б) \((\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2}\)

• Применим свойство степени: \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\) и \((ab)^n = a^n b^n\)
• \((\frac{3}{4})^{-2} (a^{-1})^{-2} (b^{-3})^{-2}\)
• Применим свойство степени: \((a^m)^n = a^{mn}\)
• \((\frac{3}{4})^{-2} a^{2} b^{6}\)
• Применим свойство отрицательной степени: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
• \((\frac{4}{3})^{2} a^{2} b^{6}\)
• \(\frac{16}{9} a^{2} b^{6}\)

в) \((-0.3x^{-5}y^{4})^{-2}\)

• Представим -0.3 как \(-\frac{3}{10}\)
• \((-\frac{3}{10}x^{-5}y^{4})^{-2}\)
• Применим свойство степени: \((ab)^n = a^n b^n\)
• \((-\frac{3}{10})^{-2} (x^{-5})^{-2} (y^{4})^{-2}\)
• Применим свойство степени: \((a^m)^n = a^{mn}\)
• \((-\frac{3}{10})^{-2} x^{10} y^{-8}\)
• Применим свойство отрицательной степени: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
• \((\frac{10}{-3})^{2} x^{10} \frac{1}{y^{8}}\)
• \(\frac{100}{9} x^{10} \frac{1}{y^{8}}\)
• \(\frac{100x^{10}}{9y^8}\)

г) \((\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1}\)

• Применим свойство степени: \((ab)^n = a^n b^n\) и \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)
• \((\frac{7}{8})^{-1} (p^{-6})^{-1} q^{-1}\)
• Применим свойство степени: \((a^m)^n = a^{mn}\)
• \((\frac{7}{8})^{-1} p^{6} q^{-1}\)
• Применим свойство отрицательной степени: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
• \((\frac{8}{7}) p^{6} \frac{1}{q}\)
• \(\frac{8p^6}{7q}\)

Ответ: a) \(\frac{a^5}{6b}\); б) \(\frac{16a^2b^6}{9}\); в) \(\frac{100x^{10}}{9y^8}\); г) \(\frac{8p^6}{7q}\)