Задача 1 Отрезки АВ и DC лежат на па- раллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 16, DC24, AC = 25.

Задача 1

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.

Дано:

• AB || DC
• M - точка пересечения AC и BD
• AB = 16
• DC = 24
• AC = 25

Найти: MC

Решение:

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABM\) и \(\triangle CDM\).

Так как AB || DC, то углы \(\angle BAM\) и \(\angle DCM\) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей AC. Аналогично, углы \(\angle ABM\) и \(\angle CDM\) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей BD.

Следовательно, \(\triangle ABM \sim \triangle CDM\) по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{16}{24} = \frac{AM}{MC}\]

Упростим дробь:

\[\frac{2}{3} = \frac{AM}{MC}\]

Пусть AM = 2x, тогда MC = 3x. Из условия AC = 25 следует:

\[AM + MC = AC\] \[2x + 3x = 25\] \[5x = 25\] \[x = 5\]

Тогда MC = 3x = 3 * 5 = 15.

Ответ: 15