Задача 6. [1 балл) Сравните числа √15-√13 и √23-√21.

Ответ: √15-√13 > √23-√21

Рассмотрим два числа: \( \sqrt{15} - \sqrt{13} \) и \( \sqrt{23} - \sqrt{21} \).

Умножим каждое число на сопряженное выражение:

Для \( \sqrt{15} - \sqrt{13} \):

\( (\sqrt{15} - \sqrt{13}) \cdot \frac{\sqrt{15} + \sqrt{13}}{\sqrt{15} + \sqrt{13}} = \frac{15 - 13}{\sqrt{15} + \sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{15} + \sqrt{13}} \)

Для \( \sqrt{23} - \sqrt{21} \):

\( (\sqrt{23} - \sqrt{21}) \cdot \frac{\sqrt{23} + \sqrt{21}}{\sqrt{23} + \sqrt{21}} = \frac{23 - 21}{\sqrt{23} + \sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{23} + \sqrt{21}} \)

Теперь сравним полученные дроби:

\( \frac{2}{\sqrt{15} + \sqrt{13}} \) и \( \frac{2}{\sqrt{23} + \sqrt{21}} \)

Так как числители одинаковы, сравним знаменатели. Очевидно, что:

\( \sqrt{15} + \sqrt{13} < \sqrt{23} + \sqrt{21} \)

Поскольку знаменатель первой дроби меньше, чем знаменатель второй дроби, то первая дробь больше:

\( \frac{2}{\sqrt{15} + \sqrt{13}} > \frac{2}{\sqrt{23} + \sqrt{21}} \)

Следовательно:

\( \sqrt{15} - \sqrt{13} > \sqrt{23} - \sqrt{21} \)

Ответ: √15-√13 > √23-√21