Зачет по теме: «Разложение квадратного трёхчлена на множители» Вариант №2 Задание №1. Разложите на множители: 1) −x²+16x−15 2) −x²−8x+9 3) 6x²+5x+1 4) −5x²+6x−1 Задание №2. Сократите дробь: 1) \frac{3x²−10x+3}{x²−3x} 2) \frac{9x²−1}{3x²−8x−3} 3) \frac{6x²+7x−3}{2−x−15x²}

Задание №1. Разложите на множители:

1) −x²+16x−15

Для начала вынесем минус за скобки: −(x²−16x+15). Теперь найдем корни квадратного уравнения x²−16x+15 = 0. Используем теорему Виета: x₁ + x₂ = 16, x₁ \cdot x₂ = 15. Корни: x₁ = 1, x₂ = 15. Таким образом, x²−16x+15 = (x−1)(x−15). Итоговый ответ: −(x−1)(x−15).

2) −x²−8x+9

Вынесем минус за скобки: −(x²+8x−9). Решим уравнение x²+8x−9 = 0. По теореме Виета: x₁ + x₂ = −8, x₁ \cdot x₂ = −9. Корни: x₁ = 1, x₂ = −9. Значит, x²+8x−9 = (x−1)(x+9). Итоговый ответ: −(x−1)(x+9).

3) 6x²+5x+1

Найдем корни уравнения 6x²+5x+1 = 0. Дискриминант D = 5² − 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 − 24 = 1. Корни: x₁ = (−5 + 1) / (2 \cdot 6) = −4 / 12 = −1/3, x₂ = (−5 − 1) / (2 \cdot 6) = −6 / 12 = −1/2. Тогда 6x²+5x+1 = 6(x + 1/3)(x + 1/2) = 2(x + 1/2) \cdot 3(x + 1/3) = (2x + 1)(3x + 1).

4) −5x²+6x−1

Вынесем минус: −(5x²−6x+1). Решим уравнение 5x²−6x+1 = 0. Дискриминант D = (−6)² − 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 − 20 = 16. Корни: x₁ = (6 + 4) / (2 \cdot 5) = 10 / 10 = 1, x₂ = (6 − 4) / (2 \cdot 5) = 2 / 10 = 1/5. Тогда 5x²−6x+1 = 5(x − 1)(x − 1/5) = (x − 1) \cdot 5(x − 1/5) = (x − 1)(5x − 1). Итоговый ответ: −(x − 1)(5x − 1).

Задание №2. Сократите дробь:

1) \frac{3x²−10x+3}{x²−3x}

Разложим числитель на множители. Решим уравнение 3x²−10x+3 = 0. Дискриминант D = (−10)² − 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 − 36 = 64. Корни: x₁ = (10 + 8) / (2 \cdot 3) = 18 / 6 = 3, x₂ = (10 − 8) / (2 \cdot 3) = 2 / 6 = 1/3. Значит, 3x²−10x+3 = 3(x − 3)(x − 1/3) = (x − 3)(3x − 1). Разложим знаменатель на множители: x²−3x = x(x − 3). Тогда \frac{3x²−10x+3}{x²−3x} = \frac{(x−3)(3x−1)}{x(x−3)} = \frac{3x−1}{x}.

2) \frac{9x²−1}{3x²−8x−3}

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: 9x²−1 = (3x−1)(3x+1). Разложим знаменатель на множители. Решим уравнение 3x²−8x−3 = 0. Дискриминант D = (−8)² − 4 \cdot 3 \cdot (−3) = 64 + 36 = 100. Корни: x₁ = (8 + 10) / (2 \cdot 3) = 18 / 6 = 3, x₂ = (8 − 10) / (2 \cdot 3) = −2 / 6 = −1/3. Значит, 3x²−8x−3 = 3(x − 3)(x + 1/3) = (x − 3)(3x + 1). Тогда \frac{9x²−1}{3x²−8x−3} = \frac{(3x−1)(3x+1)}{(x−3)(3x+1)} = \frac{3x−1}{x−3}.

3) \frac{6x²+7x−3}{2−x−15x²}

Разложим числитель на множители. Решим уравнение 6x²+7x−3 = 0. Дискриминант D = 7² − 4 \cdot 6 \cdot (−3) = 49 + 72 = 121. Корни: x₁ = (−7 + 11) / (2 \cdot 6) = 4 / 12 = 1/3, x₂ = (−7 − 11) / (2 \cdot 6) = −18 / 12 = −3/2. Значит, 6x²+7x−3 = 6(x − 1/3)(x + 3/2) = 2(x + 3/2) \cdot 3(x − 1/3) = (2x + 3)(3x − 1). Разложим знаменатель на множители. Домножим на -1: −(15x² + x - 2). Решим уравнение 15x² + x - 2 = 0. Дискриминант D = 1² − 4 \cdot 15 \cdot (−2) = 1 + 120 = 121. Корни: x₁ = (−1 + 11) / (2 \cdot 15) = 10 / 30 = 1/3, x₂ = (−1 − 11) / (2 \cdot 15) = −12 / 30 = -2/5. Значит, 15x² + x - 2 = 15(x − 1/3)(x + 2/5) = 5(x + 2/5) \cdot 3(x − 1/3) = (5x + 2)(3x − 1). Тогда \frac{6x²+7x−3}{2−x−15x²} = - \frac{(2x+3)(3x−1)}{(5x+2)(3x−1)} = - \frac{2x+3}{5x+2}.

Ответ: Задание №1: 1) −(x−1)(x−15); 2) −(x−1)(x+9); 3) (2x+1)(3x+1); 4) −(x − 1)(5x − 1). Задание №2: 1) \frac{3x−1}{x}; 2) \frac{3x−1}{x−3}; 3) - \frac{2x+3}{5x+2}.

Надеюсь, это поможет тебе в дальнейшем изучении математики! Ты молодец, у тебя все получится!