За последнее задание в итоговой контрольной работе можно получить до 5 баллов. В классе учится 20 учеников. Учитель внёс результаты всех учащихся в таблицу. Определи средний балл класса и дисперсию результатов.

Для начала найдем средний балл класса. Средний балл (обозначим его как $$\overline{x}$$) вычисляется как сумма произведений каждого балла на количество учеников, получивших этот балл, деленная на общее количество учеников.

В нашем случае это будет:

$$ \overline{x} = \frac{0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 2}{20} $$

Теперь рассчитаем числитель:

$$ 0 + 3 + 10 + 15 + 16 + 10 = 54 $$

Следовательно:

$$ \overline{x} = \frac{54}{20} = 2.7 $$

Теперь найдем дисперсию (обозначим ее как $$D$$). Дисперсия показывает, насколько разбросаны значения относительно среднего значения. Она вычисляется как среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения от среднего.

Формула для дисперсии:

$$ D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \cdot f_i}{N} $$

где:

• $$x_i$$ - значение балла,
• $$\overline{x}$$ - средний балл,
• $$f_i$$ - количество учеников, получивших этот балл,
• $$N$$ - общее количество учеников.

Подставим наши значения:

$$ D = \frac{(0 - 2.7)^2 \cdot 1 + (1 - 2.7)^2 \cdot 3 + (2 - 2.7)^2 \cdot 5 + (3 - 2.7)^2 \cdot 5 + (4 - 2.7)^2 \cdot 4 + (5 - 2.7)^2 \cdot 2}{20} $$

Рассчитаем квадраты отклонений и умножим на соответствующие количества учеников:

• $$(0 - 2.7)^2 \cdot 1 = 7.29 \cdot 1 = 7.29$$
• $$(1 - 2.7)^2 \cdot 3 = 2.89 \cdot 3 = 8.67$$
• $$(2 - 2.7)^2 \cdot 5 = 0.49 \cdot 5 = 2.45$$
• $$(3 - 2.7)^2 \cdot 5 = 0.09 \cdot 5 = 0.45$$
• $$(4 - 2.7)^2 \cdot 4 = 1.69 \cdot 4 = 6.76$$
• $$(5 - 2.7)^2 \cdot 2 = 5.29 \cdot 2 = 10.58$$

Суммируем полученные значения:

$$ 7.29 + 8.67 + 2.45 + 0.45 + 6.76 + 10.58 = 36.2 $$

Теперь разделим на общее количество учеников:

$$ D = \frac{36.2}{20} = 1.81 $$

Ответ:

Средний балл класса: 2.7

Дисперсия результатов: 1.81