За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах.

Решение:

Всего на 9 стульев рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Общее число способов рассадить 9 человек на 9 стульев равно \( 9! \).

Найдем число способов, при которых девочки окажутся на соседних местах. Сначала рассмотрим девочек как один блок. Тогда у нас будет 8 объектов (7 мальчиков + 1 блок девочек) для рассадки на 9 стульев. Число способов рассадить эти 8 объектов равно \( 8! \).

Внутри блока девочки могут поменяться местами двумя способами (девочка 1, девочка 2 или девочка 2, девочка 1). Таким образом, число способов, при которых девочки сидят рядом, равно \( 8! \times 2 \).

Общее число способов рассадить 9 человек равно \( 9! \).

Вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах, равна:

\( P(\text{девочки рядом}) = \frac{\text{Число способов, где девочки рядом}}{\text{Общее число способов}} = \frac{8! \times 2}{9!} = \frac{8! \times 2}{9 \times 8!} = \frac{2}{9} \)

Теперь найдем вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах. Это событие является противоположным событию, когда девочки сидят рядом.

\( P(\text{девочки не рядом}) = 1 - P(\text{девочки рядом}) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \)

Ответ: 7/9