Z = x^2 + y^2, ∂^2z/∂x∂y, ∂^2z/∂y∂x

Решение:

Дана функция \( Z = x^2 + y^2 \).

Найдем частные производные второго порядка:

1. \( \frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x \)
2. \( \frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y \)
3. \( \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x) = 0 \)
4. \( \frac{\partial^2 Z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2y) = 0 \)

По теореме о равенстве смешанных частных производных (теорема Шварца), если смешанные производные существуют и непрерывны в некоторой области, то они равны.

В данном случае, производные \( \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} \) и \( \frac{\partial^2 Z}{\partial y \partial x} \) равны 0.

Ответ: \( \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} = 0 \), \( \frac{\partial^2 Z}{\partial y \partial x} = 0 \).