y = (x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2) / (x^2 + 5x + 4) Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим данное выражение:

• Разложим числитель на множители:
• x^2 + 7x + 12: найдем корни уравнения x^2 + 7x + 12 = 0. Дискриминант D = 7^2 - 4*1*12 = 49 - 48 = 1. Корни: x1 = (-7 + 1) / 2 = -3, x2 = (-7 - 1) / 2 = -4. Следовательно, x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
• x^2 - x - 2: найдем корни уравнения x^2 - x - 2 = 0. Дискриминант D = (-1)^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9. Корни: x1 = (1 + 3) / 2 = 2, x2 = (1 - 3) / 2 = -1. Следовательно, x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1).
• Разложим знаменатель на множители:
• x^2 + 5x + 4: найдем корни уравнения x^2 + 5x + 4 = 0. Дискриминант D = 5^2 - 4*1*4 = 25 - 16 = 9. Корни: x1 = (-5 + 3) / 2 = -1, x2 = (-5 - 3) / 2 = -4. Следовательно, x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4).

Теперь подставим разложенные множители в исходное выражение:

y = [(x + 3)(x + 4)(x - 2)(x + 1)] / [(x + 1)(x + 4)]

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что x ≠ -1 и x ≠ -4):

y = (x + 3)(x - 2)

Раскрываем скобки:

y = x^2 - 2x + 3x - 6

y = x^2 + x - 6

Это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке x = -b / (2a) = -1 / (2*1) = -0.5.

Значение y в вершине: y = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25.

У исходной функции есть точки разрыва при x = -1 и x = -4.

• При x = -1: y = (-1)^2 + (-1) - 6 = 1 - 1 - 6 = -6. То есть, точка разрыва (-1, -6).
• При x = -4: y = (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6. Точка разрыва (-4, 6).

Прямая y = m является горизонтальной линией.

Чтобы прямая y = m имела ровно одну общую точку с графиком функции, она должна:

• Либо проходить через вершину параболы, если эта вершина не является точкой разрыва.
• Либо совпадать со значением y в одной из точек разрыва, при условии, что это значение не достигается в других точках графика.

Анализ случаев:

• Вершина параболы: y = -6.25. Эта линия пересечет параболу только в одной точке (вершине).
• Точка разрыва (-1, -6): Если m = -6, то прямая y = -6 пересечет параболу в точке x = -1 (точка разрыва) и в другой точке. Найдем ее: x^2 + x - 6 = -6 => x^2 + x = 0 => x(x + 1) = 0. Корни x = 0 и x = -1. Таким образом, прямая y = -6 пересекает параболу в двух точках: (0, -6) и (-1, -6) (где происходит разрыв).
• Точка разрыва (-4, 6): Если m = 6, то прямая y = 6 пересечет параболу в точке x = -4 (точка разрыва) и в другой точке. Найдем ее: x^2 + x - 6 = 6 => x^2 + x - 12 = 0. Дискриминант D = 1^2 - 4*1*(-12) = 1 + 48 = 49. Корни: x = (-1 + 7) / 2 = 3 и x = (-1 - 7) / 2 = -4. Таким образом, прямая y = 6 пересекает параболу в двух точках: (3, 6) и (-4, 6) (где происходит разрыв).

Таким образом, прямая y = m имеет ровно одну общую точку с графиком, когда m равно значению y в вершине параболы, то есть m = -6.25.

Ответ: m = -6,25