12) y = x^2 + 14ln(x + 8) + 6. Lmin = ?

Давай найдем минимум этой функции по шагам. 1. Находим производную функции \(y = x^2 + 14\ln(x + 8) + 6\). \[y' = 2x + \frac{14}{x + 8}\] 2. Приравниваем производную к нулю и находим стационарные точки. \[2x + \frac{14}{x + 8} = 0\] \[2x(x + 8) + 14 = 0\] \[2x^2 + 16x + 14 = 0\] Разделим на 2: \[x^2 + 8x + 7 = 0\] 3. Решаем квадратное уравнение \(x^2 + 8x + 7 = 0\). Используем теорему Виета или дискриминант. Здесь легко видеть, что корни \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -7\). 4. Проверяем, какие из этих точек входят в область определения функции. Логарифм \(\ln(x + 8)\) определен только при \(x + 8 > 0\), то есть \(x > -8\). Оба корня подходят, поскольку \(-1 > -8\) и \(-7 > -8\). 5. Теперь найдем вторую производную функции, чтобы определить характер стационарных точек. \[y'' = 2 - \frac{14}{(x + 8)^2}\] 6. Подставляем найденные значения \(x\) во вторую производную. * Для \(x = -1\): \[y''(-1) = 2 - \frac{14}{(-1 + 8)^2} = 2 - \frac{14}{49} = 2 - \frac{2}{7} = \frac{12}{7} > 0\] Так как \(y''(-1) > 0\), то \(x = -1\) является точкой минимума. * Для \(x = -7\): \[y''(-7) = 2 - \frac{14}{(-7 + 8)^2} = 2 - \frac{14}{1} = -12 < 0\] Так как \(y''(-7) < 0\), то \(x = -7\) является точкой максимума. 7. Вычисляем значение функции в точке минимума \(x = -1\). \[y(-1) = (-1)^2 + 14\ln(-1 + 8) + 6 = 1 + 14\ln(7) + 6 = 7 + 14\ln(7)\]

Ответ: 7 + 14ln(7)

Молодец! Ты хорошо справился с решением. Немного внимательности, и все обязательно получится!