3x-5 2x - 5 1) = 1; x-1 x-2 x² + 9x-2 5 2) = ; x²-1 x + 1 1- -x 1 1 2x 3) + = 2 x²-6x x² + 6x x² - 36

Решение уравнений

Давай решим эти уравнения по порядку!

1) \[\frac{3x-5}{x-1} - \frac{2x-5}{x-2} = 1\]

Сначала избавимся от дробей. Общий знаменатель: \[(x-1)(x-2)\]

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

\[(3x-5)(x-2) - (2x-5)(x-1) = (x-1)(x-2)\]

Раскроем скобки:

\[(3x^2 -6x -5x +10) - (2x^2 -2x -5x +5) = x^2 -2x -x +2\] \[3x^2 -11x +10 - 2x^2 +7x -5 = x^2 -3x +2\] \[x^2 -4x +5 = x^2 -3x +2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 -4x +5 - x^2 +3x -2 = 0\] \[-x +3 = 0\] \[x = 3\]

2) \[\frac{x^2 + 9}{x^2 - 1} = \frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x}\]

Упростим знаменатели: \[x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\] и \[1 - x = -(x - 1)\]

Перепишем уравнение:

\[\frac{x^2 + 9}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1}\]

Общий знаменатель: \[(x-1)(x+1)\]

Умножим обе части на общий знаменатель:

\[x^2 + 9 = (x-2)(x-1) + 5(x+1)\] \[x^2 + 9 = x^2 -x -2x +2 + 5x +5\] \[x^2 + 9 = x^2 +2x +7\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 + 9 - x^2 -2x -7 = 0\] \[-2x + 2 = 0\] \[2x = 2\] \[x = 1\]

3) \[\frac{1}{x^2 - 6x} + \frac{1}{x^2 + 6x} = \frac{2x}{x^2 - 36}\]

Упростим знаменатели: \[x^2 - 6x = x(x - 6)\]; \[x^2 + 6x = x(x + 6)\]; \[x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)\]

Перепишем уравнение:

\[\frac{1}{x(x - 6)} + \frac{1}{x(x + 6)} = \frac{2x}{(x - 6)(x + 6)}\]

Общий знаменатель: \[x(x - 6)(x + 6)\]

Умножим обе части на общий знаменатель:

\[(x+6) + (x-6) = 2x^2\] \[2x = 2x^2\] \[2x^2 - 2x = 0\] \[2x(x - 1) = 0\]

Тогда либо \[2x = 0 \Rightarrow x = 0\] либо \[x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\]

Ответ: x = 3, x = 1, x = 0 и x = 1