x + y = 41 sqrt(y/x) + sqrt(x/y) = 41/20

Давай решим эту систему уравнений вместе!

У нас есть:

• \[ x + y = 41 \]
• \[ \sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{41}{20} \]

Шаг 1: Упростим второе уравнение.

Приведем дроби под корнем к общему знаменателю:

• \[ \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \frac{y + x}{\sqrt{xy}} \]

Теперь подставим это обратно во второе уравнение:

• \[ \frac{x + y}{\sqrt{xy}} = \frac{41}{20} \]

Шаг 2: Используем первое уравнение.

Мы знаем, что $$x + y = 41$$. Подставим это значение:

• \[ \frac{41}{\sqrt{xy}} = \frac{41}{20} \]

Отсюда следует, что:

• \[ \sqrt{xy} = 20 \]

Возведем обе стороны в квадрат:

• \[ xy = 400 \]

Шаг 3: Найдем x и y.

Теперь у нас есть два простых уравнения:

• \[ x + y = 41 \]
• \[ xy = 400 \]

Это значит, что x и y являются корнями квадратного уравнения вида $$t^2 - (x+y)t + xy = 0$$.

• \[ t^2 - 41t + 400 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4(1)(400) = 1681 - 1600 = 81 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{81} = 9 \]

Найдем корни:

• \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 + 9}{2} = \frac{50}{2} = 25 \]
• \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 - 9}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]

Значит, пара $$(x, y)$$ может быть $$(25, 16)$$ или $$(16, 25)$$.

Проверка:

Если $$x=16, y=25$$: $$x+y = 16+25 = 41$$. $$\sqrt{\frac{25}{16}} + \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{5}{4} + \frac{4}{5} = \frac{25+16}{20} = \frac{41}{20}$$. Верно!

Если $$x=25, y=16$$: $$x+y = 25+16 = 41$$. $$\sqrt{\frac{16}{25}} + \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{4}{5} + \frac{5}{4} = \frac{16+25}{20} = \frac{41}{20}$$. Верно!

Ответ: (16; 25) или (25; 16).