5. 0,5x sin2x

Для нахождения производной функции $$f(x) = 0.5^x \cdot sin(2x)$$ используем правило произведения и дифференцирования сложной функции.

1. Производная $$0.5^x$$ равна $$0.5^x \cdot ln(0.5)$$.
2. Производная $$sin(2x)$$ равна $$2 \cdot cos(2x)$$.

Тогда производная функции $$f(x) = 0.5^x \cdot sin(2x)$$ равна $$0.5^x \cdot ln(0.5) \cdot sin(2x) + 0.5^x \cdot 2 \cdot cos(2x) = 0.5^x(ln(0.5)sin(2x) + 2cos(2x))$$.

Ответ: $$0.5^x(ln(0.5)sin(2x) + 2cos(2x))$$.