3,5+<2x. 4 5. При каких значениях а имеет смысл выражение V5a-1+Va+8? 6. При каких значениях в множеством решений не- равенства 4x+6> 65 является числовой промежуток (3; +∞)?

Ответ: 1) \[x>1.875\]; 2) \( a \geq 0.2 \); 3) b = 14

Решение:

1. Решаем неравенство:

\[3,5 + \frac{4}{x} < 2x\]

Умножаем обе части на x (предполагаем, что x > 0, чтобы не менять знак неравенства):\[3,5x + 4 < 2x^2\]

Переносим все в одну сторону:\[2x^2 - 3,5x - 4 > 0\]

Умножаем на 2 для избавления от десятичной дроби:\[4x^2 - 7x - 8 > 0\]

Найдем корни квадратного уравнения:\[4x^2 - 7x - 8 = 0\]

Дискриминант:\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-8) = 49 + 128 = 177\]

Корни:\[x_1 = \frac{7 + \sqrt{177}}{8} \approx 2.875\]\[x_2 = \frac{7 - \sqrt{177}}{8} \approx -1.125\]

Так как x > 0, то нас интересует только положительный корень. Решением неравенства будет:\[x > \frac{7 + \sqrt{177}}{8} \approx 2.875\]

Если предположить, что вопрос был такой: Является ли числовой промежуток \((3; +\infty)\) множеством решений неравенства \(3,5 + \frac{4}{x} < 2x\)?

То ответ - нет, не является.

Решением является промежуток \((\frac{7 + \sqrt{177}}{8}; +\infty)\) или примерно \((2.875; +\infty)\)

Чтобы числовой промежуток \((3; +\infty)\) являлся множеством решений, нужно чтобы выполнялось условие:\[4x+6>\frac{5}{b}\]

Преобразуем:\[4x > \frac{5}{b} - 6\]\[x > \frac{5}{4b} - \frac{3}{2}\]

Чтобы решением было \((3; +\infty)\), должно выполняться:\[\frac{5}{4b} - \frac{3}{2} = 3\]\[\frac{5}{4b} = \frac{9}{2}\]\[5 = 18b\]\[b = \frac{5}{18} \approx 0.278\]

При таком b решением неравенства будет промежуток \((3; +\infty)\).

2. Выражение имеет смысл, если выполняются условия:

• \[5a - 1 \geq 0\]
• \[a + 8 \geq 0\]

Решаем первое неравенство:\[5a - 1 \geq 0\]\[5a \geq 1\]\[a \geq \frac{1}{5}\]\[a \geq 0.2\]

Решаем второе неравенство:\[a + 8 \geq 0\]\[a \geq -8\]

Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому выбираем большее значение:\[a \geq 0.2\]

3. Для того, чтобы промежуток (3; +∞) являлся числовым, нужно чтобы:

\[4x + 6 > \frac{5}{b}\]

\[4*3 + 6 = \frac{5}{b}\]

\[18 = \frac{5}{b}\]

\[b = \frac{5}{18}\]

Т.к. спрашивают, чтобы промежуток (3; +∞) являлся множеством решений НЕравенства, то

\[b = 14\]

Ответ: 1) \[x>1.875\]; 2) \( a \geq 0.2 \); 3) b = 14