x-7 / x+4 + x+4 / x-1 = 55 / (x+4)(x-1)

Привет! Давай разберем это уравнение вместе.

Перед нами дробно-рациональное уравнение. Чтобы его решить, первым делом нужно привести дроби к общему знаменателю. В нашем случае общий знаменатель — это (x+4)(x-1).

1. Приводим к общему знаменателю:
   • Первую дробь epresentation{x-7}{x+4} умножаем на epresentation{x-1}{x-1}:
   • \[ \frac{x-7}{x+4} \times \frac{x-1}{x-1} = \frac{(x-7)(x-1)}{(x+4)(x-1)} \]
   • Вторую дробь epresentation{x+4}{x-1} умножаем на epresentation{x+4}{x+4}:
   • \[ \frac{x+4}{x-1} \times \frac{x+4}{x+4} = \frac{(x+4)^2}{(x+4)(x-1)} \]
   • Теперь уравнение выглядит так:
   • \[ \frac{(x-7)(x-1)}{(x+4)(x-1)} + \frac{(x+4)^2}{(x+4)(x-1)} = \frac{55}{(x+4)(x-1)} \]
2. Раскрываем скобки в числителях:
   • \[ (x-7)(x-1) = x^2 - x - 7x + 7 = x^2 - 8x + 7 \]
   • \[ (x+4)^2 = x^2 + 2(x)(4) + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \]
   • Подставляем обратно в уравнение:
   • \[ \frac{x^2 - 8x + 7 + x^2 + 8x + 16}{(x+4)(x-1)} = \frac{55}{(x+4)(x-1)} \]
3. Упрощаем числитель и избавляемся от знаменателей:
   • \[ x^2 - 8x + 7 + x^2 + 8x + 16 = 2x^2 + 23 \]
   • Знаменатель epresentation{(x+4)(x-1)}{} не равен нулю, поэтому мы можем умножить обе части уравнения на него:
   • \[ 2x^2 + 23 = 55 \]
4. Решаем получившееся квадратное уравнение:
   • \[ 2x^2 = 55 - 23 \]
   • \[ 2x^2 = 32 \]
   • \[ x^2 = \frac{32}{2} \]
   • \[ x^2 = 16 \]
   • \[ x = 2  4 \]
5. Проверяем корни:
6. Оба корня, 4 и -4, не обращают знаменатель epresentation{(x+4)(x-1)}{} в ноль (знаменатель равен нулю при x = -4 и x = 1).

Ответ: x = 4, x = -4