(x+7)² (x−4) / (x²+3x-28) ≥ 0.

Решение:

1. Разложим знаменатель на множители: \( x^2 + 3x - 28 \). Корни уравнения \( x^2 + 3x - 28 = 0 \) находятся по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -3 \) и \( x_1 x_2 = -28 \). Корнями являются \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -7 \). Таким образом, \( x^2 + 3x - 28 = (x-4)(x+7) \).
2. Неравенство примет вид: \[ \frac{(x+7)^2 (x-4)}{(x-4)(x+7)} \geq 0 \]
3. Сократим дробь, учитывая, что \( x \neq 4 \) и \( x \neq -7 \).
4. Получаем упрощённое неравенство: \[ \frac{(x+7)^2}{x+7} \geq 0 \]
5. При \( x \neq -7 \) и \( x \neq 4 \), неравенство равносильно \( x+7 \geq 0 \), откуда \( x \geq -7 \).
6. Учитывая ограничения \( x \neq -7 \) и \( x \neq 4 \), получаем решение \( x > -7 \) и \( x \neq 4 \).
7. Также нужно учесть, что \( (x+7)^2 \geq 0 \) всегда.
8. Рассмотрим знак выражения \( \frac{(x+7)^2(x-4)}{(x-4)(x+7)} \).
9. Точки, обращающие числитель в ноль: \( x = -7 \) (с кратностью 2), \( x = 4 \) (с кратностью 1).
10. Точки, обращающие знаменатель в ноль: \( x = 4 \) (с кратностью 1), \( x = -7 \) (с кратностью 1).
11. Отмечаем эти точки на числовой прямой: \( -7 \) и \( 4 \). \( x = -7 \) и \( x = 4 \) — выколотые точки.
12. Проверим знаки на интервалах:
• При \( x > 4 \) (например, \( x=5 \)): \( \frac{(+)^2(+)}{(+)(+)} = + \geq 0 \).
• При \( -7 < x < 4 \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{(+)^2(-)}{(-)(+)} = - \geq 0 \) — неверно.
• При \( x < -7 \) (например, \( x=-8 \)): \( \frac{(-)^2(-)}{(-)(-)} = - \geq 0 \) — неверно.
13. Таким образом, решение неравенства \( x > 4 \).

Ответ: \( (4; +\infty) \).