x^4 + 20x^2 + 64 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение. Можно решить его, сделав замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 20y + 64 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

1. Определим коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = 20 \), \( c = 64 \).
2. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 \]
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня для \( y \).
4. Найдём корни по формуле: \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 12}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 \):

1. Для \( y_1 = -4 \): \( x^2 = -4 \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
2. Для \( y_2 = -16 \): \( x^2 = -16 \). Это уравнение также не имеет действительных корней.

Если рассматривать комплексные числа, то:

1. Для \( x^2 = -4 \): \( x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i \)
2. Для \( x^2 = -16 \): \( x = \pm \sqrt{-16} = \pm 4i \)

Ответ: В действительных числах решений нет. В комплексных числах: \( x = 2i, x = -2i, x = 4i, x = -4i \).