(√x²+2x−7−1) · log3 (9 + 2x − x²) = 0.

Решение:

Чтобы решить уравнение, необходимо учесть два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( x^2 + 2x - 7 \ge 0 \).
2. Аргумент логарифма должен быть положительным: \( 9 + 2x - x^2 > 0 \).

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( \sqrt{x^2 + 2x - 7} - 1 = 0 \)

1. \( \sqrt{x^2 + 2x - 7} = 1 \)
2. Возведём обе части в квадрат: \( x^2 + 2x - 7 = 1 \)
3. \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \).
5. \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)
6. \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \)

Проверим корни на соответствие условиям:

• Для \( x = 2 \): \( 2^2 + 2(2) - 7 = 4 + 4 - 7 = 1 \ge 0 \) (условие 1 выполнено). \( 9 + 2(2) - 2^2 = 9 + 4 - 4 = 9 > 0 \) (условие 2 выполнено).
• Для \( x = -4 \): \( (-4)^2 + 2(-4) - 7 = 16 - 8 - 7 = 1 \ge 0 \) (условие 1 выполнено). \( 9 + 2(-4) - (-4)^2 = 9 - 8 - 16 = -15 \le 0 \) (условие 2 НЕ выполнено).

Таким образом, \( x = 2 \) является решением.

Случай 2: \( \log_3(9 + 2x - x^2) = 0 \)

1. По определению логарифма, \( 9 + 2x - x^2 = 3^0 \)
2. \( 9 + 2x - x^2 = 1 \)
3. \( -x^2 + 2x + 8 = 0 \)
4. \( x^2 - 2x - 8 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \).
6. \( x_3 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)
7. \( x_4 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \)

Проверим корни на соответствие условиям:

• Для \( x = 4 \): \( 4^2 + 2(4) - 7 = 16 + 8 - 7 = 17 \ge 0 \) (условие 1 выполнено). \( 9 + 2(4) - 4^2 = 9 + 8 - 16 = 1 \ge 0 \) (условие 2 НЕ выполнено, так как аргумент логарифма должен быть строго больше 0).
• Для \( x = -2 \): \( (-2)^2 + 2(-2) - 7 = 4 - 4 - 7 = -7 \le 0 \) (условие 1 НЕ выполнено).

Обратите внимание: при проверке \( x = 4 \) для условия \( 9 + 2x - x^2 > 0 \) мы получили \( 9 + 8 - 16 = 1 \). Это больше нуля. Однако, если внимательно посмотреть на исходное условие \( \log_3(9 + 2x - x^2) = 0 \), то \( 9 + 2x - x^2 = 1 \). Следовательно, \( -x^2 + 2x + 8 = 0 \) или \( x^2 - 2x - 8 = 0 \). Корни \( x=4 \) и \( x=-2 \) удовлетворяют этому условию. Теперь проверим условие \( x^2 + 2x - 7 \ge 0 \).

• Для \( x = 4 \): \( 4^2 + 2(4) - 7 = 16 + 8 - 7 = 17 \ge 0 \). Оба условия выполнены.
• Для \( x = -2 \): \( (-2)^2 + 2(-2) - 7 = 4 - 4 - 7 = -7 \le 0 \). Условие \( x^2 + 2x - 7 \ge 0 \) не выполнено.

Таким образом, \( x = 4 \) является решением.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: x = 2, x = 4.