x^2 + (x+1)^2 = 5^2

Давай решим это уравнение вместе!

1. Сначала раскроем скобки. Помнишь формулу квадрата суммы? \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Применим её к \( (x+1)^2 \):
2. \( x^2 + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = 25 \)
3. \( x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25 \)
4. Теперь приведем подобные слагаемые:
5. \( 2x^2 + 2x + 1 = 25 \)
6. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \):
7. \( 2x^2 + 2x + 1 - 25 = 0 \)
8. \( 2x^2 + 2x - 24 = 0 \)
9. Можно упростить уравнение, разделив всё на 2:
10. \( x^2 + x - 12 = 0 \)
11. Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Давай через дискриминант:
12. \( D = b^2 - 4ac \)
13. \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \)
14. \( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \)
15. Найдем корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
16. Первый корень:
17. \( x_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \)
18. Второй корень:
19. \( x_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Ответ: Корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -4 \).