x^2 - 6x + \(\sqrt{6-x}\) = \(\sqrt{6-x}\) + 7.

Решение:

Данное уравнение:

\( x^2 - 6x + \sqrt{6-x} = \sqrt{6-x} + 7 \)

Для начала, вычтем \( \sqrt{6-x} \) из обеих частей уравнения:

\( x^2 - 6x = 7 \)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 6x - 7 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета.

Метод 1: Дискриминант

Коэффициенты уравнения: \( a=1 \), \( b=-6 \), \( c=-7 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Метод 2: Теорема Виета

Для уравнения \( x^2 + px + q = 0 \), сумма корней \( x_1 + x_2 = -p \) и произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = q \).

В нашем случае \( x^2 - 6x - 7 = 0 \), \( p = -6 \), \( q = -7 \).

Ищем два числа, сумма которых равна \( -(-6) = 6 \), а произведение равно \( -7 \).

Эти числа: \( 7 \) и \( -1 \) (так как \( 7 + (-1) = 6 \) и \( 7 \cdot (-1) = -7 \)).

Итак, корни уравнения: \( x_1 = 7 \) и \( x_2 = -1 \).

Проверка условий существования корня квадратного:

Уравнение содержит \( \sqrt{6-x} \). Это означает, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 6 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 6 \).

Проверим найденные корни:

• Для \( x = 7 \): \( 6 - 7 = -1 \). Так как \( -1 < 0 \), корень \( x = 7 \) не подходит, так как он приводит к извлечению корня из отрицательного числа.
• Для \( x = -1 \): \( 6 - (-1) = 6 + 1 = 7 \). Так как \( 7 \ge 0 \), корень \( x = -1 \) подходит.

Подставим \( x = -1 \) в исходное уравнение:

\[ (-1)^2 - 6(-1) + \sqrt{6-(-1)} = \sqrt{6-(-1)} + 7 \]

\[ 1 + 6 + \sqrt{7} = \sqrt{7} + 7 \]

\[ 7 + \sqrt{7} = 7 + \sqrt{7} \]

Равенство верно.

Ответ: x = -1.