∫⁴√x - 2 + 5/x dx

Решение:

Для решения данного интеграла, мы можем разбить его на три отдельных интеграла:

\( \int \left( \sqrt[4]{x} - 2 + \frac{5}{x} \right) dx = \int \sqrt[4]{x} dx - \int 2 dx + \int \frac{5}{x} dx \)

Теперь решим каждый интеграл по отдельности:

1. Первый интеграл: \( \int \sqrt[4]{x} dx \)
   Перепишем \( \sqrt[4]{x} \) как \( x^{\frac{1}{4}} \).
   Применяем правило степенного интегрирования: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).
   \( \int x^{\frac{1}{4}} dx = \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} + C_1 = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C_1 = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C_1 \)
2. Второй интеграл: \( \int 2 dx \)
   Интеграл от константы равен константе, умноженной на переменную.
   \( \int 2 dx = 2x + C_2 \)
3. Третий интеграл: \( \int \frac{5}{x} dx \)
   Выносим константу 5 за знак интеграла.
   \( 5 \int \frac{1}{x} dx \)
   Известно, что \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \).
   \( 5 \ln|x| + C_3 \)

Теперь объединяем результаты всех трех интегралов:

\( \int \left( \sqrt[4]{x} - 2 + \frac{5}{x} \right) dx = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 2x + 5 \ln|x| + C \)

Где \( C = C_1 - C_2 + C_3 \) — общая константа интегрирования.

Можно также переписать \( x^{\frac{5}{4}} \) как \( x \cdot x^{\frac{1}{4}} \) или \( x \sqrt[4]{x} \) и \( \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} \) как \( \frac{4}{5} x \sqrt[4]{x^1} \).

Также \( x^{\frac{5}{4}} \) можно записать как \( \sqrt[4]{x^5} \) или \( x \sqrt[4]{x} \).

Таким образом, финальный ответ:

\( \frac{4}{5} x^{5/4} - 2x + 5 \ln|x| + C \) или \( \frac{4}{5} x \sqrt[4]{x} - 2x + 5 \ln|x| + C \) или \( \frac{4}{5} \sqrt[4]{x^5} - 2x + 5 \ln|x| + C \)