x + 2y + z = -1 Решить систему уравнений: 2х-3у – 2z = 0 3x + y + 2z = 0

Давай решим систему уравнений методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}\]

Преобразуем матрицу, чтобы получить нули под главной диагональю. Сначала вычтем из второй строки удвоенную первую строку, а из третьей строки вычтем утроенную первую строку:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & -7 & -4 & 2 \\ 0 & -5 & -1 & 3 \end{bmatrix}\]

Теперь умножим вторую строку на -1/7, чтобы привести коэффициент при y во второй строке к 1:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{7} & -\frac{2}{7} \\ 0 & -5 & -1 & 3 \end{bmatrix}\]

Затем прибавим к третьей строке 5 раз вторую строку:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{7} & -\frac{2}{7} \\ 0 & 0 & \frac{13}{7} & \frac{11}{7} \end{bmatrix}\]

Умножим третью строку на 7/13, чтобы привести коэффициент при z к 1:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{7} & -\frac{2}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{11}{13} \end{bmatrix}\]

Теперь выразим переменные из полученной матрицы. Из третьей строки имеем:

\[z = \frac{11}{13}\]

Из второй строки:

\[y + \frac{4}{7}z = -\frac{2}{7}\]

\[y = -\frac{2}{7} - \frac{4}{7} \cdot \frac{11}{13} = -\frac{26}{91} - \frac{44}{91} = -\frac{70}{91} = -\frac{10}{13}\]

Из первой строки:

\[x + 2y + z = -1\]

\[x = -1 - 2y - z = -1 - 2 \cdot \left(-\frac{10}{13}\right) - \frac{11}{13} = -1 + \frac{20}{13} - \frac{11}{13} = -\frac{13}{13} + \frac{20}{13} - \frac{11}{13} = -\frac{4}{13}\]

Ответ: x = -4/13, y = -10/13, z = 11/13