2. x + y = 10, y x 5 + = Vx 2

Пусть даны уравнения:

\[\begin{cases} x + y = 10 \\ \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \end{cases}\]

Выразим x через y из первого уравнения:

\[x = 10 - y\]

Подставим x в уравнение с корнями:

\[\sqrt{\frac{10-y}{y}} + \sqrt{\frac{y}{10-y}} = \frac{5}{2}\]

Пусть \[t = \sqrt{\frac{10-y}{y}}\]

Тогда \[\frac{1}{t} = \sqrt{\frac{y}{10-y}}\]

Уравнение примет вид:

\[t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}\]

Умножим обе части уравнения на 2t:

\[2t^2 + 2 = 5t\]

\[2t^2 - 5t + 2 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\]

Корни:

\[t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2\]

\[t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\]

Случай 1: \[t = 2\]

\[\sqrt{\frac{10-y}{y}} = 2 \Rightarrow \frac{10-y}{y} = 4 \Rightarrow 10 - y = 4y \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2\]

\[x = 10 - y = 10 - 2 = 8\]

Случай 2: \[t = \frac{1}{2}\]

\[\sqrt{\frac{10-y}{y}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{10-y}{y} = \frac{1}{4} \Rightarrow 40 - 4y = y \Rightarrow 5y = 40 \Rightarrow y = 8\]

\[x = 10 - y = 10 - 8 = 2\]