12) 3x3 - 4x2 + x lim x→∞ x5 - 8x2 + 1

Разберемся:

1. Разделим числитель и знаменатель на x⁵:

   \[\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 4x^2 + x}{x^5 - 8x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^3}{x^5} - \frac{4x^2}{x^5} + \frac{x}{x^5}}{\frac{x^5}{x^5} - \frac{8x^2}{x^5} + \frac{1}{x^5}}\]

2. Упростим выражение:

   \[\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{4}{x^3} + \frac{1}{x^4}}{1 - \frac{8}{x^3} + \frac{1}{x^5}}\]

3. Найдем предел каждого слагаемого при x стремящемся к бесконечности:

   Так как \(\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0\) для любой константы c и положительной степени n, то:

   \[\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^2} = 0, \quad \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^3} = 0, \quad \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^4} = 0\] \[\lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3} = 0, \quad \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^5} = 0\]

4. Подставим полученные значения в предел:

   \[\lim_{x \to \infty} \frac{0 - 0 + 0}{1 - 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0\]