(x2 – 2x)2 – (x - 2)(x + 2)(x2 – 4) – 4x(7x – x2). 4. Разложить на множители: a) m2 - (m + n)2; б) x3 - y3 - 5x(x2 + xy + y2). 5. Доказать, что произведение двух последовательных четных чисел делится на 8. 6*. Докажите, что число 154 – 1862 + 1732 – 1342 кратно 39. 7*. Решите уравнение: (x-1)3 - x2(x - 4) – (x + 2)(x – 2) = 0.

4. Разложить на множители:

a) \[m^2 - (m + n)^2\]

Разность квадратов: \[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\]

\[m^2 - (m + n)^2 = (m + (m + n))(m - (m + n)) = (2m + n)(m - m - n) = (2m + n)(-n) = -(2m + n)n\]

Ответ:\[-(m + n)(m - (m + n)) \]

б) \[x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2)\]

Разность кубов: \[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\]

\[x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2) = (x - y)(x^2 + xy + y^2) - 5x(x^2 + xy + y^2) = (x^2 + xy + y^2)(x - y - 5x) = (x^2 + xy + y^2)(-4x - y) = -(4x + y)(x^2 + xy + y^2)\]

Ответ: \[-(4 x + y) (x^2 + x y + y^2)\]

5. Доказать, что произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

Пусть первое четное число равно 2n, тогда следующее четное число будет 2n + 2.

Произведение этих чисел: \[2n(2n + 2) = 4n^2 + 4n = 4n(n + 1)\]

Если n - четное число, то n = 2k, где k - целое число. Тогда \[4n(n + 1) = 4(2k)(2k + 1) = 8k(2k + 1)\]

Если n - нечетное число, то n = 2k + 1, где k - целое число. Тогда \[4n(n + 1) = 4(2k + 1)(2k + 1 + 1) = 4(2k + 1)(2k + 2) = 8(2k + 1)(k + 1)\]

В обоих случаях произведение делится на 8.

Ответ: Доказано.

6*. Докажите, что число 154 – 1862 + 1732 – 1342 кратно 39.

Вычислим данное выражение: \[154 - 1862 + 1732 - 1342 = (154 - 1342) + (1732 - 1862) = -1188 - 130 = -1318\]

\[-1318 = -34 \times 39 - 2 \times 39 = -36 \times 39\]

Таким образом, число кратно 39.

Ответ: Доказано.

7*. Решите уравнение:

\[(x - 1)^3 - x^2(x - 4) - (x + 2)(x - 2) = 0\]

Раскроем скобки: \[x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 + 4x^2 - (x^2 - 4) = 0\]

Приведем подобные слагаемые: \[x^3 - x^3 - 3x^2 + 4x^2 - x^2 + 3x - 1 + 4 = 0\]

\[3x + 3 = 0\]

\[3x = -3\]

\[x = -1\]

Проверим правильность:\[(-1 - 1)^3 - (-1)^2(-1 - 4) - (-1 + 2)(-1 - 2) = 0\]

\[(-2)^3 - 1(-5) - (1)(-3) = 0\]

\[-8 + 5 + 3 = 0\]

\[0 = 0\]

\[(x - 1)^3 - x^2(x - 4) - (x + 2)(x - 2) = 0\]

\[x^3-3x^2+3x-1-x^3+4x^2-(x^2-4)=0\]

\[x^3-3x^2+3x-1-x^3+4x^2-x^2+4=0\]

\[3x+3=0\]

\[x=-1\]