1. 1) x³-64y3 3) a⁶-b⁶ 5) (m-n)³ + n³ 7) 8c³ + (c-d)³ 2. 1) 27a⁹+8d¹² 3. 1) 1-125c³ 5) a⁴⁵-b⁵¹ 9) x¹²-y¹² 2) p³ q³ + n³ 4) m⁶ + (pn)⁶ 6) (a-2)³-8 8) 27a³- (a - b)³ 2) a¹⁸ + b¹⁵ 2) 8 + 125c⁶ 6) a³⁰ b¹⁵ - c⁴⁵ d⁷⁵ 10) x¹² + y¹² 3) a²⁷ b³⁰-1 4) a³ b⁶ c⁹ + 8 3) x³ + 1000 7) 64a⁵ – a² 4) a⁶⁰ - b³⁰ 8) 1000x⁶ - 343x³ y³

Задание 1.1

1) x³ - 64y³

Давай разберем эту задачу. Здесь у нас разность кубов. Вспомним формулу: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). В нашем случае, a = x, b = 4y. Подставим значения в формулу:

x³ - 64y³ = (x - 4y)(x² + 4xy + 16y²)

Ответ: (x - 4y)(x² + 4xy + 16y²)

---

Задание 1.2

3) a⁶ - b⁶

Здесь мы видим разность шестых степеней. Это можно представить как разность квадратов: (a³)² - (b³)² = (a³ - b³)(a³ + b³). Затем применим формулы разности и суммы кубов:

(a³ - b³)(a³ + b³) = (a - b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² - ab + b²)

Ответ: (a - b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² - ab + b²)

---

Задание 1.3

5) (m - n)³ + n³

Раскроем скобки и упростим выражение:

(m - n)³ + n³ = m³ - 3m²n + 3mn² - n³ + n³ = m³ - 3m²n + 3mn²

Ответ: m³ - 3m²n + 3mn² = m(m² - 3mn + 3n²)

---

Задание 1.4

7) 8c³ + (c - d)³

Здесь у нас сумма кубов. Используем формулу a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). В нашем случае a = 2c, b = (c - d). Подставим значения в формулу:

8c³ + (c - d)³ = (2c + c - d)((2c)² - 2c(c - d) + (c - d)²) = (3c - d)(4c² - 2c² + 2cd + c² - 2cd + d²) = (3c - d)(3c² + d²)

Ответ: (3c - d)(3c² + d²)

---

Задание 2.1

1) 27a⁹ + 8d¹²

Здесь у нас сумма кубов: (3a³ )³ + (2d⁴)³ = (3a³ + 2d⁴)((3a³)² - 3a³ \cdot 2d⁴ + (2d⁴)²)

(3a³ + 2d⁴)(9a⁶ - 6a³d⁴ + 4d⁸)

Ответ: (3a³ + 2d⁴)(9a⁶ - 6a³d⁴ + 4d⁸)

---

Задание 3.1

1) 1 - 125c³

Это разность кубов: 1³ - (5c)³ = (1 - 5c)(1 + 5c + 25c²)

Ответ: (1 - 5c)(1 + 5c + 25c²)

---

Задание 3.2

5) a⁴⁵ - b⁵¹

Это разность нечетных степеней. a⁴⁵ - b⁵¹ = (a¹⁵)³ - (b¹⁷)³ = (a¹⁵ - b¹⁷)((a¹⁵)² + a¹⁵b¹⁷ + (b¹⁷)²) = (a¹⁵ - b¹⁷)(a³⁰ + a¹⁵b¹⁷ + b³⁴)

Ответ: (a¹⁵ - b¹⁷)(a³⁰ + a¹⁵b¹⁷ + b³⁴)

---

Задание 3.3

9) x¹² - y¹²

Это можно представить как разность квадратов: (x⁶)² - (y⁶)² = (x⁶ - y⁶)(x⁶ + y⁶) = (x³ - y³)(x³ + y³)(x⁶ + y⁶) = (x - y)(x² + xy + y²)(x + y)(x² - xy + y²)(x⁶ + y⁶)

Ответ: (x - y)(x² + xy + y²)(x + y)(x² - xy + y²)(x⁶ + y⁶)

---

Задание 1.5

2) p³q³ + n³ = (pq)³ + n³ = (pq + n)((pq)² - pq \cdot n + n²) = (pq + n)(p²q² - pqn + n²)

Ответ: (pq + n)(p²q² - pqn + n²)

---

Задание 1.6

4) m⁶ + (pn)⁶ = (m²)³ + ((pn)²)³ = (m² + (pn)²)((m²)² - m²(pn)² + ((pn)²)²) = (m² + p²n²)(m⁴ - m²p²n² + p⁴n⁴)

Ответ: (m² + p²n²)(m⁴ - m²p²n² + p⁴n⁴)

---

Задание 1.7

6) (a - 2)³ - 8 = (a - 2)³ - 2³ = (a - 2 - 2)((a - 2)² + 2(a - 2) + 4) = (a - 4)(a² - 4a + 4 + 2a - 4 + 4) = (a - 4)(a² - 2a + 4)

Ответ: (a - 4)(a² - 2a + 4)

---

Задание 1.8

8) 27a³ - (a - b)³ = (3a)³ - (a - b)³ = (3a - (a - b))((3a)² + 3a(a - b) + (a - b)²) = (2a + b)(9a² + 3a² - 3ab + a² - 2ab + b²) = (2a + b)(13a² - 5ab + b²)

Ответ: (2a + b)(13a² - 5ab + b²)

---

Задание 2.2

2) a¹⁸ + b¹⁵ = (a⁶)³ + (b⁵)³ = (a⁶ + b⁵)((a⁶)² - a⁶b⁵ + (b⁵)²) = (a⁶ + b⁵)(a¹² - a⁶b⁵ + b¹⁰)

Ответ: (a⁶ + b⁵)(a¹² - a⁶b⁵ + b¹⁰)

---

Задание 2.3

3) a²⁷b³⁰ - 1 = (a⁹b¹⁰)³ - 1³ = (a⁹b¹⁰ - 1)((a⁹b¹⁰)² + a⁹b¹⁰ + 1) = (a⁹b¹⁰ - 1)(a¹⁸b²⁰ + a⁹b¹⁰ + 1)

Ответ: (a⁹b¹⁰ - 1)(a¹⁸b²⁰ + a⁹b¹⁰ + 1)

---

Задание 2.4

4) a³b⁶c⁹ + 8 = (ab²c³ )³ + 2³ = (ab²c³ + 2)((ab²c³ )² - ab²c³ \cdot 2 + 2²) = (ab²c³ + 2)(a²b⁴c⁶ - 2ab²c³ + 4)

Ответ: (ab²c³ + 2)(a²b⁴c⁶ - 2ab²c³ + 4)

---

Задание 3.4

2) 8 + 125c⁶ = 2³ + (5c²)³ = (2 + 5c²)(4 - 10c² + 25c⁴)

Ответ: (2 + 5c²)(4 - 10c² + 25c⁴)

---

Задание 3.5

6) a³⁰b¹⁵ - c⁴⁵d⁷⁵ = (a¹⁰b⁵)³ - (c¹⁵d²⁵)³ = (a¹⁰b⁵ - c¹⁵d²⁵)((a¹⁰b⁵)² + a¹⁰b⁵c¹⁵d²⁵ + (c¹⁵d²⁵)²) = (a¹⁰b⁵ - c¹⁵d²⁵)(a²⁰b¹⁰ + a¹⁰b⁵c¹⁵d²⁵ + c³⁰d⁵⁰)

Ответ: (a¹⁰b⁵ - c¹⁵d²⁵)(a²⁰b¹⁰ + a¹⁰b⁵c¹⁵d²⁵ + c³⁰d⁵⁰)

---

Задание 3.6

10) x¹² + y¹² = (x⁴)³ + (y⁴)³ = (x⁴ + y⁴)((x⁴)² - x⁴y⁴ + (y⁴)²) = (x⁴ + y⁴)(x⁸ - x⁴y⁴ + y⁸)

Ответ: (x⁴ + y⁴)(x⁸ - x⁴y⁴ + y⁸)

---

Задание 3.7

3) x³ + 1000 = x³ + 10³ = (x + 10)(x² - 10x + 100)

Ответ: (x + 10)(x² - 10x + 100)

---

Задание 3.8

7) 64a⁵ - a² = a²(64a³ - 1) = a²((4a)³ - 1³) = a²(4a - 1)(16a² + 4a + 1)

Ответ: a²(4a - 1)(16a² + 4a + 1)

---

Задание 3.9

4) a⁶⁰ - b³⁰ = (a²⁰)³ - (b¹⁰)³ = (a²⁰ - b¹⁰)((a²⁰)² + a²⁰b¹⁰ + (b¹⁰)²) = (a²⁰ - b¹⁰)(a⁴⁰ + a²⁰b¹⁰ + b²⁰)

Ответ: (a²⁰ - b¹⁰)(a⁴⁰ + a²⁰b¹⁰ + b²⁰)

---

Задание 3.10

8) 1000x⁶ - 343x³y³ = (10x²)³ - (7xy)³ = (10x² - 7xy)((10x²)² + 10x² \cdot 7xy + (7xy)²) = (10x² - 7xy)(100x⁴ + 70x³y + 49x²y²)

Ответ: (10x² - 7xy)(100x⁴ + 70x³y + 49x²y²)