661. 1) 2x²+7x-4<0; 3) -2x²+x+1>0; 662. 1) x²-6x+9>0; 4) 4x²-20x+25<0; 45)-9x²-6x-1<0; 663. 1) x²-4x+6>0; 4) x²+3x+5<0;

Решение:

1. 661. 1) $$2x^2+7x-4<0$$

Решим квадратное уравнение $$2x^2+7x-4=0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$

Так как $$D > 0$$, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$$

Таким образом, корни уравнения: $$x_1 = 0.5$$ и $$x_2 = -4$$.

Теперь решим неравенство $$2x^2+7x-4<0$$ методом интервалов.

На числовой прямой отметим корни уравнения: -4 и 0.5.

--------------------(-4)--------------------(0.5)--------------------

Определим знаки выражения $$2x^2+7x-4$$ на каждом из интервалов:

• Интервал $$(-\infty, -4)$$: возьмем $$x = -5$$. Тогда $$2(-5)^2 + 7(-5) - 4 = 50 - 35 - 4 = 11 > 0$$.
• Интервал $$(-4, 0.5)$$: возьмем $$x = 0$$. Тогда $$2(0)^2 + 7(0) - 4 = -4 < 0$$.
• Интервал $$(0.5, +\infty)$$: возьмем $$x = 1$$. Тогда $$2(1)^2 + 7(1) - 4 = 2 + 7 - 4 = 5 > 0$$.

Таким образом, решение неравенства $$2x^2+7x-4<0$$: $$x \in (-4, 0.5)$$.

3. 3) $$-2x^2+x+1>0$$

Решим квадратное уравнение $$-2x^2+x+1=0$$

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 1 + 8 = 9$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-1 + 3}{-4} = \frac{2}{-4} = -0.5$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-1 - 3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$$

Решим неравенство $$-2x^2+x+1>0$$ методом интервалов.

-------------------(-0.5)--------------------(1)--------------------

Определим знаки выражения $$-2x^2+x+1$$ на каждом из интервалов:

• Интервал $$(-\infty, -0.5)$$: возьмем $$x = -1$$. Тогда $$-2(-1)^2 + (-1) + 1 = -2 - 1 + 1 = -2 < 0$$.
• Интервал $$(-0.5, 1)$$: возьмем $$x = 0$$. Тогда $$-2(0)^2 + 0 + 1 = 1 > 0$$.
• Интервал $$(1, +\infty)$$: возьмем $$x = 2$$. Тогда $$-2(2)^2 + 2 + 1 = -8 + 2 + 1 = -5 < 0$$.

Таким образом, решение неравенства $$-2x^2+x+1>0$$: $$x \in (-0.5, 1)$$.

662. 662. 1) $$x^2-6x+9>0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2-6x+9=0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$

Так как $$D = 0$$, уравнение имеет один корень:

$$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) + \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Так как квадратный трехчлен имеет вид $$(x-3)^2$$, то он всегда неотрицателен. Следовательно, $$x^2-6x+9>0$$ при $$x
e 3$$.

4. 4) $$4x^2-20x+25<0$$

Решим квадратное уравнение $$4x^2-20x+25=0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 400 - 400 = 0$$

$$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-20) + \sqrt{0}}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = 2.5$$

Так как квадратный трехчлен имеет вид $$(2x-5)^2$$, то он всегда неотрицателен. Следовательно, $$4x^2-20x+25<0$$ не имеет решений.

45. 45) $$-9x^2-6x-1<0$$

Решим квадратное уравнение $$-9x^2-6x-1=0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-1) = 36 - 36 = 0$$

$$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) + \sqrt{0}}{2 \cdot (-9)} = \frac{6}{-18} = -\frac{1}{3}$$

Так как квадратный трехчлен имеет вид $$-(3x+1)^2$$, то он всегда неположителен. Следовательно, $$-9x^2-6x-1<0$$ при $$x
e -\frac{1}{3}$$.

663. 663. 1) $$x^2-4x+6>0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2-4x+6=0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$$

Так как $$D < 0$$, уравнение не имеет действительных корней. Значит, $$x^2-4x+6$$ всегда положительно, так как коэффициент при $$x^2$$ положителен. Следовательно, $$x^2-4x+6>0$$ при всех $$x \in R$$.

4. 4) $$x^2+3x+5<0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2+3x+5=0$$

$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$$

Так как $$D < 0$$, уравнение не имеет действительных корней. Значит, $$x^2+3x+5$$ всегда положительно, так как коэффициент при $$x^2$$ положителен. Следовательно, $$x^2+3x+5<0$$ не имеет решений.

Ответ: Решения выше