) (081 (x+8)> log4 (2-3)+(085 (34)

Решение

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Оно выглядит так:

\[\log_{\frac{1}{2}}(x+8) > \log_{\frac{1}{2}}(x-3) + \log_{\frac{1}{2}}(3x)\]

Шаг 1: Преобразуем правую часть, используя свойство логарифмов:

\[\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)\]

Тогда правая часть станет:

\[\log_{\frac{1}{2}}(x-3) + \log_{\frac{1}{2}}(3x) = \log_{\frac{1}{2}}((x-3)(3x))\]

Шаг 2: Запишем неравенство с преобразованной правой частью:

\[\log_{\frac{1}{2}}(x+8) > \log_{\frac{1}{2}}(3x(x-3))\]

Шаг 3: Избавимся от логарифмов. Так как основание логарифма \(\frac{1}{2}\) меньше 1, то при снятии логарифмов знак неравенства меняется:

\[x+8 < 3x(x-3)\]

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим неравенство:

\[x+8 < 3x^2 - 9x\]

Перенесем все в правую часть:

\[0 < 3x^2 - 10x - 8\]

Или:

\[3x^2 - 10x - 8 > 0\]

Шаг 5: Решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения:

\[3x^2 - 10x - 8 = 0\]

Используем формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196\]

Корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 14}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\]

Шаг 6: Определим интервалы, где неравенство больше нуля:

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный (3 > 0), парабола направлена вверх. Значит, неравенство выполняется вне интервала между корнями:

\[x < -\frac{2}{3} \quad \text{или} \quad x > 4\]

Шаг 7: Учтем ОДЗ (область допустимых значений) для логарифмов:

Для исходного неравенства должны выполняться условия:

\[x+8 > 0 \Rightarrow x > -8\]\[x-3 > 0 \Rightarrow x > 3\]\[3x > 0 \Rightarrow x > 0\]

Объединяя эти условия, получаем:

\[x > 3\]

Шаг 8: Найдем пересечение решения неравенства и ОДЗ:

Решение неравенства: \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > 4\)

ОДЗ: \(x > 3\)

Пересечение:

\[x > 4\]

Ответ:

Ответ: x > 4

Отлично, ты справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!