Which of the following inequalities is incorrect? A) $$2^{-x+1} < \frac{1}{2}$$ Б) $$\frac{(x-4)^2}{x-2} < 0$$ B) $$\log_{4} x > 1$$ Г) $$(x - 4)(x - 2) < 0$$ Write the number of the correct solution.

Решение:

Проверим каждое неравенство:

1. A) $$2^{-x+1} < \frac{1}{2}$$
   \( 2^{-x+1} < 2^{-1} \)
   Так как основание степени \( 2 > 1 \), то показатели степеней сравниваются в том же направлении:
   \( -x + 1 < -1 \)
   \( -x < -2 \)
   \( x > 2 \)
2. Б) $$\frac{(x-4)^2}{x-2} < 0$$
   Выражение \( (x-4)^2 \) всегда неотрицательно. Для выполнения неравенства числитель должен быть равен 0 (что не подходит, так как дробь будет равна 0) или положительным, а знаменатель отрицательным.
   \( (x-4)^2 > 0 \) при \( x \neq 4 \).
   \( x-2 < 0 \) при \( x < 2 \).
   Таким образом, решением будет \( x < 2 \).
3. B) $$\log_{4} x > 1$$
   Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), то:
   \( x > 4^1 \)
   \( x > 4 \)
4. Г) $$(x - 4)(x - 2) < 0$$
   Это квадратичная парабола, ветви вверх. Корни: 2 и 4. Неравенство выполняется между корнями:
   \( 2 < x < 4 \)

Ответ: 2