689. Выясните, каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков уравнений данной системы и сделайте вывод о том, имеет ли система решение, и, если имеет, то сколько: a) $$\begin{cases} 3x-y=5, \ 3x+2y=8; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} 2y-x=4, \ y-2x=0; \end{cases}$$ в) $$\begin{cases} y=0.5x+2, \ y=0.5x-4. \end{cases}$$

Решение задачи 689: a) $$\begin{cases} 3x-y=5 \ 3x+2y=8 \ \end{cases}$$. Выразим y из первого уравнения: $$y = 3x - 5$$. Подставим во второе уравнение: $$3x + 2(3x - 5) = 8$$ $$3x + 6x - 10 = 8$$ $$9x = 18$$ $$x = 2$$ $$y = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$$ Так как есть одно решение, прямые пересекаются в одной точке (2, 1). Ответ: Прямые пересекаются в одной точке, система имеет одно решение. б) $$\begin{cases} 2y-x=4 \ y-2x=0 \ \end{cases}$$. Выразим y из второго уравнения: $$y = 2x$$. Подставим в первое уравнение: $$2(2x) - x = 4$$ $$4x - x = 4$$ $$3x = 4$$ $$x = \frac{4}{3}$$ $$y = 2(\frac{4}{3}) = \frac{8}{3}$$ Так как есть одно решение, прямые пересекаются в одной точке $$(\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$$. Ответ: Прямые пересекаются в одной точке, система имеет одно решение. в) $$\begin{cases} y=0.5x+2 \ y=0.5x-4 \ \end{cases}$$. Обе прямые имеют одинаковый угловой коэффициент (0.5), но разные свободные члены (2 и -4). Это означает, что прямые параллельны. Ответ: Прямые параллельны, система не имеет решений.