6 Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Пусть ABC – равнобедренный треугольник с основанием BC. Высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке M. ∠BMC = 140°.

1. Рассмотрим четырехугольник AB1MC1. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Так как BB1 и CC1 – высоты, то углы AB1M и AC1M прямые, то есть равны 90°.

∠BAC = 360° - ∠AB1M - ∠AC1M - ∠BMC = 360° - 90° - 90° - 140° = 40°.

2. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны. ∠ABC = ∠ACB.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠ABC = ∠ACB = (180° - ∠BAC) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°.

Ответ: углы треугольника равны 40°, 70° и 70°.