Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = AC \). \( BM \perp AC \), \( CH \perp AB \). \( M \) — точка пересечения высот. \( \angle BMC = 140^{\circ} \).

Найти: \( \angle A, \angle B, \angle C \).

1. Рассмотрим четырёхугольник \( ABMC \). Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \).
2. \( ∠ ABM = 90^{\circ} \) (так как \( BM \) — высота), \( ∠ ACM = 90^{\circ} \) (так как \( CH \) — высота).
3. В четырёхугольнике \( ABMC \) углы \( ∠ ABM \) и \( ∠ ACM \) не являются противоположными, поэтому сумма углов \( ∠ BAC \) и \( ∠ BMC \) не равна \( 180^{\circ} \).
4. Рассмотрим \( \triangle BHC \). \( ∠ BHC = 90^{\circ} \). \( ∠ HBC = ∠ ABC \). \( ∠ HCB = ∠ ACB \).
5. Рассмотрим \( \triangle BMC \). \( ∠ MBC + ∠ MCB + ∠ BMC = 180^{\circ} \). \( ∠ MBC + ∠ MCB + 140^{\circ} = 180^{\circ} \). \( ∠ MBC + ∠ MCB = 40^{\circ} \).
6. Так как \( BM \) и \( CH \) — высоты, то \( ∠ ABM = 90^{\circ} \) и \( ∠ ACH = 90^{\circ} \).
7. Углы \( ∠ MBC \) и \( ∠ MCB \) являются частями углов \( ∠ ABC \) и \( ∠ ACB \) соответственно.
8. \( ∠ MBC = ∠ ABC - ∠ ABM = ∠ ABC - 90^{\circ} \) (это неверно, так как \( M \) может быть вне \( ∠ ABC \)).
9. Давайте рассмотрим свойства точки пересечения высот. Точка пересечения высот (ортоцентр) обладает свойством, что если \( O \) — ортоцентр, то \( ∠ BOC = 180^{\circ} - ∠ A \). В нашем случае \( M \) — ортоцентр.
10. Следовательно, \( ∠ BMC = 180^{\circ} - ∠ A \).
11. \( 140^{\circ} = 180^{\circ} - ∠ A \).
12. \( ∠ A = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).
13. Так как \( ∠ ABC \) — равнобедренный треугольник с \( AB = AC \), то углы при основании равны: \( ∠ ABC = ∠ ACB \).
14. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \): \( ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180^{\circ} \).
15. \( 40^{\circ} + 2 ∠ ABC = 180^{\circ} \).
16. \( 2 ∠ ABC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
17. \( ∠ ABC = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).
18. Значит, \( ∠ ABC = ∠ ACB = 70^{\circ} \).
19. Проверим, что треугольник остроугольный: \( 40^{\circ} < 90^{\circ} \), \( 70^{\circ} < 90^{\circ} \). Условия выполняются.

Ответ: Углы треугольника равны \( 40^{\circ}, 70^{\circ}, 70^{\circ} \).