Высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. Вычислите площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус. (Задача 617в учебника.) Решение. 1) Пирамида вписана в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. Пусть правильная шестиугольная PABCDEF вписана с высотой PO. По условию PO = ____ см, OA = OB = ____ см. 2) Сторона правильного шестиугольника равна радиусу окружности, описанной около него. Поэтому AB = ____ = ____ см.

Дано:

• Высота конуса (H) = 4 см
• Радиус основания конуса (R) = 3 см
• В конус вписана правильная шестиугольная пирамида PABCDEF.
• Высота пирамиды PO совпадает с высотой конуса.
• Вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.

Найти:

1. Площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды.

Решение:

1. Понимание задачи:
• Пирамида вписана в конус. Это значит, что основание пирамиды (правильный шестиугольник) вписано в основание конуса (круг), а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.
• Высота пирамиды PO совпадает с высотой конуса.
• Радиус основания конуса R равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды.
2. Данные из условия:
• Высота пирамиды PO = 4 см (так как совпадает с высотой конуса).
• Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен радиусу основания конуса, то есть OA = OB = R = 3 см.
3. Свойства правильного шестиугольника:
• Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
• Следовательно, сторона шестиугольника AB = BC = CD = DE = EF = FA равна радиусу OA, то есть AB = 3 см.
4. Вычисление площади боковой поверхности пирамиды:
• Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из 6 равных равнобедренных треугольников (например, ╯ AOB).
• Площадь боковой поверхности пирамиды: S_{бок.пир.} = 6 * S_{AOB}.
• Площадь треугольника AOB: S_{AOB} = 1/2 * AB * h_a, где h_a - апофема пирамиды.
• Апофема h_a (высота боковой грани) находится из прямоугольного треугольника POA, где PA - образующая конуса, PO - высота, OA - радиус основания.
• Найдем образующую конуса (PA) по теореме Пифагора:

\[ PA^2 = PO^2 + OA^2 \]

\[ PA^2 = 4^2 + 3^2 \]

\[ PA^2 = 16 + 9 \]

\[ PA^2 = 25 \]

\[ PA = \sqrt{25} = 5 \] см.

• Теперь найдем апофему h_a. Апофема - это высота боковой грани, например, треугольника PAB. В правильном шестиугольнике апофема является высотой равностороннего треугольника, образуемого двумя радиусами и стороной. Например, если мы проведем апофему из P к середине стороны AB, она будет равна высоте треугольника POA, где гипотенуза PA=5, катет PO=4, катет OA=3. Но апофема пирамиды (высота боковой грани) не является высотой треугольника POA. Апофема является высотой боковой грани, которая является треугольником, например, ╯ PAB. Основание этого треугольника AB=3. Высота этого треугольника, проведенная из P к середине AB (назовем точку середины M), является апофемой h_a = PM.
• Рассмотрим треугольник POA. PA = 5 (образующая конуса). PO = 4 (высота). OA = 3 (радиус).
• В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Значит AB = OA = 3 см.
• Площадь боковой грани (треугольник PAB) равна 1/2 * основание * высота. Основание AB = 3. Высота - апофема h_a.
• В равностороннем треугольнике (где все стороны равны радиусу) апофема находится по формуле: h_a = a * √{3} / 2, где a - сторона шестиугольника.
• h_a = 3 * √{3} / 2 см.
• Площадь одной боковой грани:

\[ S_{PAB} = 1/2 * AB * h_a = 1/2 * 3 * (3 * √{3} / 2) = 9√{3} / 4 \] кв. см.

• Площадь боковой поверхности пирамиды:

\[ S_{бок.пир.} = 6 * S_{PAB} = 6 * (9√{3} / 4) = 54√{3} / 4 = 27√{3} / 2 \] кв. см.

5. Вычисление площади основания пирамиды:
• Площадь правильного шестиугольника со стороной a равна:

\[ S_{осн.пир.} = (3√{3} / 2) * a^2 \]

\[ S_{осн.пир.} = (3√{3} / 2) * 3^2 = (3√{3} / 2) * 9 = 27√{3} / 2 \] кв. см.

6. Вычисление площади полной поверхности пирамиды:
• Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

\[ S_{полн.пир.} = S_{бок.пир.} + S_{осн.пир.} \]

\[ S_{полн.пир.} = (27√{3} / 2) + (27√{3} / 2) = 54√{3} / 2 = 27√{3} \] кв. см.

Ответ: Площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна 27√{3} кв. см.