Выражение:\(\frac{\sqrt[6]{x^5} \cdot \sqrt[4]{x^7}}{\sqrt[12]{x^8}}\\) , где х > 0.

Преобразуем выражение, используя свойства степеней и корней:

$$\frac{\sqrt[6]{x^5} \cdot \sqrt[4]{x^7}}{\sqrt[12]{x^8}} = \frac{x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{7}{4}}}{x^{\frac{8}{12}}} = \frac{x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{7}{4}}}{x^{\frac{2}{3}}}$$

При умножении степени складываются, при делении - вычитаются:

$$x^{\frac{5}{6} + \frac{7}{4} - \frac{2}{3}} = x^{\frac{10}{12} + \frac{21}{12} - \frac{8}{12}} = x^{\frac{10+21-8}{12}} = x^{\frac{23}{12}}$$

$$x^{\frac{23}{12}} = \sqrt[12]{x^{23}} = \sqrt[12]{x^{12} \cdot x^{11}} = x\sqrt[12]{x^{11}}$$.

Ответ: $$x\sqrt[12]{x^{11}}$$.