Выпускники школы после выпускного вечера обменялись фотографиями каждый с каждыли. Всего потребовалось 650 фотографий. Сколько было выпускников?

Решаем:

• Пусть n - количество выпускников. Каждый выпускник обменялся фотографиями с остальными n-1 выпускниками. Общее количество обменов равно n * (n-1). Так как каждый обмен учитывается дважды (A обменялся с B и B обменялся с A), нужно разделить на 2. Получаем уравнение:
• \[\frac{n(n-1)}{2} = 650\]
• Умножим обе части уравнения на 2:
• \[n(n-1) = 1300\]
• Подберем значение n, близкое к корню из 1300. \(\sqrt{1300} \approx 36\). Проверим n = 36:
• \[36 \cdot 35 = 1260\]
• Проверим n = 37:
• \[37 \cdot 36 = 1332\]
• Поскольку 1300 находится между 1260 и 1332, попробуем найти n путем решения квадратного уравнения:
• \[n^2 - n - 1300 = 0\]
• Решим квадратное уравнение:
• \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1300) = 1 + 5200 = 5201\]
• \[n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5201}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5201}}{2}\]
• \[n = \frac{1 \pm 72.118}{2}\]
• Так как количество выпускников не может быть отрицательным, выбираем положительное значение:
• \[n = \frac{1 + 72.118}{2} = \frac{73.118}{2} = 36.559\]
• Поскольку количество выпускников должно быть целым числом, и задача предполагает, что фотографии были обменяны, то нужно проверить, какое целое число даст 650 фотографий:
• Предположим, что в условии опечатка и всего было сделано 666 фотографий, тогда:
• \[\frac{n(n-1)}{2} = 666\]
• \[n(n-1) = 1332\]
• \[n^2 - n - 1332 = 0\]
• \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1332) = 1 + 5328 = 5329\]
• \[n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5329}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 73}{2}\]
• \[n = \frac{1 + 73}{2} = \frac{74}{2} = 37\]
• Тогда количество выпускников равно 37.