Выполните задания, подготовьтесь к контрольной работе 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см. 2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12 см, а высота, проведённая треугольника. K основанию 7 см. Найдите основание 3. Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите сторону ромба. 4. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 6 см и 10 см. Найдите: 1) синус угла, противолежащего большему катету; 2) косинус угла, прилежащего к меньшему катету; 3) котангенс угла, противолежащего большему катету 5. Найдите значение выражения: 1) ctg260° + sin 30°; 2) 4cos245°+ tg230°. 6. Найдите cosa, tga и ctga, если sina = 1/6.

Решение задач

1. Задача 1: Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

   Используем теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

   Подставляем значения: \(c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)

   Извлекаем квадратный корень: \(c = \sqrt{169} = 13\)

   Ответ: 13 см

2. Задача 2: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12 см, высота, проведённая к основанию, равна 7 см. Найти основание треугольника.

   Пусть половина основания равна \(x\). Тогда по теореме Пифагора: \(x^2 + 7^2 = 12^2\)

   Решаем уравнение: \(x^2 = 12^2 - 7^2 = 144 - 49 = 95\)

   Находим \(x\): \(x = \sqrt{95}\)

   Основание равно \(2x\), значит, \(2\sqrt{95}\) см.

   Ответ: 2\(\sqrt{95}\) см

3. Задача 3: Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найти сторону ромба.

   Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Половины диагоналей равны 7 см и 24 см.

   Используем теорему Пифагора: \(a^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\)

   Находим сторону: \(a = \sqrt{625} = 25\)

   Ответ: 25 см

4. Задача 4: Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 6 см и 10 см. Найти синус угла, противолежащего большему катету; косинус угла, прилежащего к меньшему катету; котангенс угла, противолежащего большему катету.

   Сначала найдем второй катет: \(b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\), значит \(b = \sqrt{64} = 8\)

   Синус угла, противолежащего большему катету: \(\sin \alpha = \frac{8}{10} = 0.8\)

   Косинус угла, прилежащего к меньшему катету: \(\cos \alpha = \frac{6}{10} = 0.6\)

   Котангенс угла, противолежащего большему катету: \(ctg \alpha = \frac{6}{8} = 0.75\)

   Ответ: 1) 0.8, 2) 0.6, 3) 0.75

5. Задача 5: Найти значение выражения: 1) ctg²60° + sin 30°; 2) 4cos²45° + tg²30°.

   1) \(ctg^2 60° + \sin 30° = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} = \frac{13}{12}\)

   2) \(4\cos^2 45° + tg^2 30° = 4(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}\)

   Ответ: 1) \(\frac{13}{12}\), 2) \(2 + \frac{1}{3}\)

6. Задача 6: Найти cosa, tga и ctga, если sina = 1/6.

   Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

   Находим \(\cos \alpha\): \(\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}\), значит \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{35}}{6}\)

   Находим \(tg \alpha\): \(tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/6}{\sqrt{35}/6} = \frac{1}{\sqrt{35}}\\)

   Находим \(ctg \alpha\): \(ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = \sqrt{35}\\)

   Ответ: \( cos \alpha = \frac{\sqrt{35}}{6}\), \( tg \alpha = \frac{1}{\sqrt{35}} \), \( ctg \alpha = \sqrt{35}\)