Выполните письменное задание. Разность квадратов корней уравнения x² + 5x + q = 0 равна 53. Найдите q

Решение:

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(x^2 + 5x + q = 0\). По теореме Виета:

• Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -5\)
• Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = q\)

По условию, разность квадратов корней равна 53: \(x_1^2 - x_2^2 = 53\).

Разложим разность квадратов:

\((x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 53\)

Подставим значение суммы корней \(x_1 + x_2 = -5\):

\((x_1 - x_2)(-5) = 53\)

Отсюда найдём разность корней:

\(x_1 - x_2 = \frac{53}{-5} = -10.6\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \(x_1 + x_2 = -5\)
2. \(x_1 - x_2 = -10.6\)

Сложим два уравнения, чтобы найти \(x_1\):

\((x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = -5 + (-10.6)\)

\(2x_1 = -15.6\)

\(x_1 = \frac{-15.6}{2} = -7.8\)

Теперь найдём \(x_2\), подставив значение \(x_1\) в первое уравнение:

\(-7.8 + x_2 = -5\)

\(x_2 = -5 + 7.8 = 2.8\)

Наконец, найдём \(q\) как произведение корней:

\(q = x_1 · x_2 = (-7.8) · (2.8)\)

\(q = -21.84\)

Ответ: q = -21.84