Выполните действия с периодическими дробями 0,8(5) - 0,1(6).

Решение:

Для вычисления разности периодических дробей, преобразуем их в обыкновенные дроби.

1. Преобразуем 0,8(5) в обыкновенную дробь:
   Пусть \( x = 0,8555... \).
   Тогда \( 10x = 8,555... \).
   И \( 100x = 85,555... \).
   Вычтем первое уравнение из второго: \( 100x - 10x = 85,555... - 8,555... \)
   \( 90x = 77 \)
   \( x = \frac{77}{90} \).
2. Преобразуем 0,1(6) в обыкновенную дробь:
   Пусть \( y = 0,1666... \).
   Тогда \( 10y = 1,666... \).
   И \( 100y = 16,666... \).
   Вычтем первое уравнение из второго: \( 100y - 10y = 16,666... - 1,666... \)
   \( 90y = 15 \)
   \( y = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \).
3. Вычислим разность дробей:
   \( \frac{77}{90} - \frac{1}{6} \).
   Приведем дроби к общему знаменателю (90):
   \( \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 15}{6 \cdot 15} = \frac{15}{90} \).
   Теперь вычтем: \( \frac{77}{90} - \frac{15}{90} = \frac{77 - 15}{90} = \frac{62}{90} \).
4. Сократим дробь:
   \( \frac{62}{90} = \frac{31}{45} \).

Ответ: \( \frac{31}{45} \).