Выполните действия: a) \(\frac{a^2-9}{2a+1} \cdot \frac{6a+3}{a-3}\) б) \((\frac{5x+y}{x-5y} + \frac{5x-y}{x+5y}) : \frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}\)

Решение:

а) \(\frac{a^2-9}{2a+1} \cdot \frac{6a+3}{a-3}\)

1. Разложим числитель первой дроби \( a^2-9 \) как разность квадратов \( (a-3)(a+3) \).
2. Вынесем общий множитель \( 3 \) из \( 6a+3 \), получим \( 3(2a+1) \).
3. Подставим разложенные выражения в исходное: \[ \frac{(a-3)(a+3)}{2a+1} \cdot \frac{3(2a+1)}{a-3} \]
4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: \[ \frac{\cancel{(a-3)}(a+3)}{\cancel{2a+1}} \cdot \frac{3\cancel{(2a+1)}}{\cancel{a-3}} = (a+3) \cdot 3 = 3(a+3) \]

б) \((\frac{5x+y}{x-5y} + \frac{5x-y}{x+5y}) : \frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}\)

1. Приведем сумму дробей в скобках к общему знаменателю \( (x-5y)(x+5y) = x^2-25y^2 \): \[ \frac{5x+y}{x-5y} + \frac{5x-y}{x+5y} = \frac{(5x+y)(x+5y) + (5x-y)(x-5y)}{(x-5y)(x+5y)} \]
2. Раскроем скобки в числителе: \[ (5x^2 + 25xy + xy + 5y^2) + (5x^2 - 25xy - xy + 5y^2) = 5x^2 + 26xy + 5y^2 + 5x^2 - 26xy + 5y^2 = 10x^2 + 10y^2 \]
3. Получаем: \[ \frac{10x^2 + 10y^2}{x^2-25y^2} \]
4. Вынесем общий множитель \( 10 \) из числителя: \[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2} \]
5. Теперь выполним деление, умножив на обратную дробь: \[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2} : \frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2} = \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2} \cdot \frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2} \]
6. Сократим одинаковые множители: \[ \frac{10\cancel{(x^2+y^2)}}{\cancel{x^2-25y^2}} \cdot \frac{\cancel{x^2-25y^2}}{\cancel{x^2+y^2}} = 10 \]

Ответ: а) \( 3(a+3) \); б) \( 10 \).