Выполните действия: а) \(\frac{2}{5} \cdot (\frac{11}{14} - \frac{3}{7})\); б) \((\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3\). На заказ сделан аквариум с измерениями \(\frac{7}{8}\) м, \(\frac{3}{4}\) м, \(\frac{1}{2}\) м. Наименьшее из измерений — высота аквариума. а) Найдите объём грунта, необходимого для заполнения аквариума, если толщина слоя грунта равна 5 см. б) Для расчёта затрат на профилактику течи найдите общую длину всех швов аквариума (места соединения двух стёкол). в) Найдите объём аквариума. г)* Сколько кубометров воды можно налить в аквариум, чтобы вода не доходила на 10 см до края?

Задание 2.

а) \(\frac{2}{5} \cdot (\frac{11}{14} - \frac{3}{7})\)

Первым делом упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

\(\frac{11}{14} - \frac{3}{7} = \frac{11}{14} - \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{11}{14} - \frac{6}{14} = \frac{11 - 6}{14} = \frac{5}{14}\)

Теперь умножаем:

\(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 14} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}\)

б) \((\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3\)

Сначала возведем дроби в степень:

\((\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}\)

\((\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}\)

Теперь складываем:

\(\frac{1}{9} + \frac{1}{27} = \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27} = \frac{3}{27} + \frac{1}{27} = \frac{3 + 1}{27} = \frac{4}{27}\)

Задание 3.

Размеры аквариума: длина \(\frac{7}{8}\) м, ширина \(\frac{3}{4}\) м, высота \(\frac{1}{2}\) м.

а) Найдем объём грунта, если толщина слоя 5 см = 0,05 м. Сначала найдем площадь дна аквариума:

\(S = \frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4} = \frac{21}{32}\) м²

Теперь умножим площадь на высоту слоя грунта:

\(V_{грунта} = \frac{21}{32} \cdot 0.05 = \frac{21}{32} \cdot \frac{5}{100} = \frac{21 \cdot 5}{32 \cdot 100} = \frac{105}{3200} = \frac{21}{640}\) м³

б) Для расчета затрат на профилактику течи найдем общую длину всех швов аквариума. У аквариума 4 вертикальных шва (2 шва длиной \(\frac{1}{2}\) м и 2 шва длиной \(\frac{1}{2}\) м), 4 шва по периметру основания (2 шва длиной \(\frac{7}{8}\) м и 2 шва длиной \(\frac{3}{4}\) м).

Сумма длин вертикальных швов:

\(2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2\) м

Сумма длин швов по периметру основания:

\(2 \cdot \frac{7}{8} + 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{7}{4} + \frac{3}{2} = \frac{7}{4} + \frac{6}{4} = \frac{13}{4}\) м

Общая длина швов:

\(2 + \frac{13}{4} = \frac{8}{4} + \frac{13}{4} = \frac{21}{4}\) м

в) Найдем объём аквариума:

\(V = \frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 1}{8 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{21}{64}\) м³

г) Если вода не доходит до края на 10 см = 0.1 м, то высота воды будет \(\frac{1}{2} - 0.1 = 0.5 - 0.1 = 0.4\) м = \(\frac{4}{10}\) м = \(\frac{2}{5}\) м.

Объём воды в аквариуме:

\(V_{воды} = \frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 2}{8 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{42}{160} = \frac{21}{80}\) м³