1. Выполните деление: 1) 5/6 : 4/7; 2) 6/35 : 48/49; 3) 8/15 : 32/75; 4) 45/56 : 54/49. 2. Найдите частное: 1) 9 : 3/7; 2) 1 : 3/17; 3) 9/32 : 18. 3. Решите уравнение: 1) 8/9 x = 2/9; 3) 4/7 x = 16; 5) x : 9/16 = 32/45; 2) 5/9 x = 1; 4) 5x = 4/5; 6) 25/42 : x = 5/6. 4. Найдите скорость автобуса, если за 8/9 ч он проехал 48 км. 5. Мастер может выполнить некоторую работу за 21 ч, а его ученик — за 28 ч. За сколько часов выполнят эту работу мастер и ученик, работая вместе?

1. Выполните деление:

1) \[ \frac{5}{6} : \frac{4}{7} = \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{4} = \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 4} = \frac{35}{24} = 1\frac{11}{24} \]

2) \[ \frac{6}{35} : \frac{48}{49} = \frac{6}{35} \cdot \frac{49}{48} = \frac{6 \cdot 49}{35 \cdot 48} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 7}{5 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{7}{5 \cdot 8} = \frac{7}{40} \]

3) \[ \frac{8}{15} : \frac{32}{75} = \frac{8}{15} \cdot \frac{75}{32} = \frac{8 \cdot 75}{15 \cdot 32} = \frac{8 \cdot 15 \cdot 5}{15 \cdot 8 \cdot 4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \]

4) \[ \frac{45}{56} : \frac{54}{49} = \frac{45}{56} \cdot \frac{49}{54} = \frac{45 \cdot 49}{56 \cdot 54} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 7}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 6} = \frac{35}{48} \]

2. Найдите частное:

1) \[ 9 : \frac{3}{7} = 9 \cdot \frac{7}{3} = \frac{9 \cdot 7}{3} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 7}{3} = 3 \cdot 7 = 21 \]

2) \[ 1 : \frac{3}{17} = 1 \cdot \frac{17}{3} = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3} \]

3) \[ \frac{9}{32} : 18 = \frac{9}{32} \cdot \frac{1}{18} = \frac{9}{32 \cdot 18} = \frac{9}{32 \cdot 2 \cdot 9} = \frac{1}{32 \cdot 2} = \frac{1}{64} \]

3. Решите уравнение:

1) \[ \frac{8}{9} x = \frac{2}{9} \]

\[ x = \frac{2}{9} : \frac{8}{9} = \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{8} = \frac{2 \cdot 9}{9 \cdot 8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

3) \[ \frac{4}{7} x = 16 \]

\[ x = 16 : \frac{4}{7} = 16 \cdot \frac{7}{4} = \frac{16 \cdot 7}{4} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 7}{4} = 4 \cdot 7 = 28 \]

5) \[ x : \frac{9}{16} = \frac{32}{45} \]

\[ x = \frac{32}{45} \cdot \frac{9}{16} = \frac{32 \cdot 9}{45 \cdot 16} = \frac{2 \cdot 16 \cdot 9}{5 \cdot 9 \cdot 16} = \frac{2}{5} \]

2) \[ \frac{5}{9} x = 1 \]

\[ x = 1 : \frac{5}{9} = 1 \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} \]

4) \[ 5x = \frac{4}{5} \]

\[ x = \frac{4}{5} : 5 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{25} \]

6) \[ \frac{25}{42} : x = \frac{5}{6} \]

\[ x = \frac{25}{42} : \frac{5}{6} = \frac{25}{42} \cdot \frac{6}{5} = \frac{25 \cdot 6}{42 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{7 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{5}{7} \]

4. Найдите скорость автобуса, если за 8/9 ч он проехал 48 км.

Пусть скорость автобуса равна v км/ч. Тогда расстояние, которое он проехал за 8/9 ч, равно (8/9)v км. По условию это расстояние равно 48 км. Составим уравнение:

\[ \frac{8}{9} v = 48 \]

\[ v = 48 : \frac{8}{9} = 48 \cdot \frac{9}{8} = \frac{48 \cdot 9}{8} = \frac{6 \cdot 8 \cdot 9}{8} = 6 \cdot 9 = 54 \]

Скорость автобуса равна 54 км/ч.

5. Мастер может выполнить некоторую работу за 21 ч, а его ученик — за 28 ч. За сколько часов выполнят эту работу мастер и ученик, работая вместе?

Пусть вся работа равна 1. Тогда производительность мастера равна 1/21, а производительность ученика равна 1/28. Работая вместе, их производительность равна:

\[ \frac{1}{21} + \frac{1}{28} = \frac{4}{84} + \frac{3}{84} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12} \]

Следовательно, работая вместе, они выполнят всю работу за 12 часов.

Ответ: 1) 1 11/24; 2) 7/40; 3) 1 1/4; 4) 35/48; 1) 21; 2) 5 2/3; 3) 1/64; 1) 1/4; 3) 28; 5) 2/5; 2) 1 4/5; 4) 4/25; 6) 5/7; 4) 54 км/ч; 5) 12 часов