Вынести за скобку наибольший общий множитель.

Решение:

Для вынесения наибольшего общего множителя за скобку необходимо найти наибольший общий делитель коэффициентов и наименьшую степень каждой переменной, входящей во все члены многочлена.

N1. \( 15x^2 + 30x^2y + 75x^4 \)

1. Наибольший общий делитель коэффициентов 15, 30, 75 равен 15.


2. Переменная \( x \) входит во все члены. Наименьшая степень \( x \) равна 2 (в первом и втором членах).


3. Следовательно, наибольший общий множитель равен \( 15x^2 \).


4. Выносим \( 15x^2 \) за скобку:

\[ 15x^2 + 30x^2y + 75x^4 = 15x^2(1 + 2y + 5x^2) \]

N2. \( 2a^7 + 8a^2c^3 - 4a^4 \)

1. Наибольший общий делитель коэффициентов 2, 8, 4 равен 2.


2. Переменная \( a \) входит во все члены. Наименьшая степень \( a \) равна 1 (в первом члене, хотя запись \( 2a^7 \) может быть ошибочна, предположим, что степень \( a \) в первом члене такая же, как у \( c \) в третьем члене, или это \( a^1 \)). Если предположить, что \( a \) в первом члене имеет степень 1, то наибольший общий множитель по \( a \) будет \( a^1 \). Если же \( 2a^7 \) это \( 2a^2 \) и \( 8a^2c^3 \) это \( 8a^2c^3 \), то общий множитель \( a^2 \). В данном случае, из-за неясности записи, предположим, что \( 2a^7 \) это \( 2a^2 \) или \( 2a^1 \). Будем исходить из того, что \( a \) есть во всех членах, и наименьшая степень \( a \) в записи \( 2a \) (если это \( 2a^1 \)) равна 1.


3. Однако, если интерпретировать \( 2a^7 \) как \( 2a^2 \), то наибольший общий множитель по \( a \) будет \( a^2 \).


4. В третьем члене отсутствует \( c \).


5. Наибольший общий множитель равен \( 2a \) (предполагая, что \( a \) есть в первой степени и \( a^2 \) - ошибка).


6. Выносим \( 2a \) за скобку:

\[ 2a^7 + 8a^2c^3 - 4a^4 = 2a(a^6 + 4ac^3 - 2a^3) \]

Примечание: если в первом члене вместо \( a^7 \) должно быть \( a^2 \), то наибольший общий множитель будет \( 2a^2 \), и выражение будет \( 2a^2(1 + 4c^3 - 2a^2) \). Если же \( 2a^7 \) — это \( 2a^1 \) и \( 4a^4 \) — это \( 4a^1 \), то общий множитель будет \( 2a \). Учитывая запись \( 2a^7 \) и \( 4a^4 \) более вероятно, что \( a \) является общей переменной, и наименьшая степень \( a \) является \( a^1 \) (если \( 2a^7 \) — ошибка и должно быть \( 2a \)) или \( a^2 \) (если \( 2a^7 \) — ошибка и должно быть \( 2a^2 \)). Будем придерживаться более очевидной записи \( 2a \) как наименьшей степени, предполагая, что \( a \) в первом члене имеет степень 1.

N3. \( \frac{1}{3}a^5 + \frac{1}{9}a^3 \)

1. Наибольший общий делитель коэффициентов \( \frac{1}{3} \) и \( \frac{1}{9} \) равен \( \frac{1}{9} \).


2. Переменная \( a \) входит во все члены. Наименьшая степень \( a \) равна 3.


3. Следовательно, наибольший общий множитель равен \( \frac{1}{9}a^3 \).


4. Выносим \( \frac{1}{9}a^3 \) за скобку:

\[ \frac{1}{3}a^5 + \frac{1}{9}a^3 = \frac{1}{9}a^3(3a^2 + 1) \]

Ответ: N1: \( 15x^2(1 + 2y + 5x^2) \); N2: \( 2a(a^6 + 4ac^3 - 2a^3) \) (с учетом возможных опечаток в исходном условии); N3: \( \frac{1}{9}a^3(3a^2 + 1) \).