1) Вычислить: sinπ/4 + cos 3π/2 ⋅ tg π/3 ---------------------------- ctg π/6 - ctg π/2 2) Найти знак выражения cos 100°⋅tg 250° sin 300°⋅ctg 100° 3) Дано: Sin α = -3/5, 3π/2 < α < 2π Найти cos α, tg α, ctg α 4) Найти период y = sin 3x + cos x/2 5) Вычислить arctg (-√3) + arcsin (1/2)

Задание 1

Вычислить:

\[\frac{\sin{\frac{\pi}{4}} + \cos{\frac{3\pi}{2}} \cdot \tan{\frac{\pi}{3}}}{\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{6}} - \operatorname{ctg}{\frac{\pi}{2}}}}\]

• \(\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\cos{\frac{3\pi}{2}} = 0\)
• \(\tan{\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3}\)
• \(\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3}\)
• \(\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{2}} = 0\)

Тогда:

\[\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 0} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\]

Задание 2

Найти знак выражения:

\[\frac{\cos{100^\circ} \cdot \tan{250^\circ}}{\sin{300^\circ} \cdot \operatorname{ctg}{100^\circ}}\]

• \(\cos{100^\circ}\) - отрицательный (2-я четверть)
• \(\tan{250^\circ}\) - положительный (3-я четверть)
• \(\sin{300^\circ}\) - отрицательный (4-я четверть)
• \(\operatorname{ctg}{100^\circ}\) - отрицательный (2-я четверть)

Тогда:

\[\frac{(-) \cdot (+)}{(-) \cdot (-)} = \frac{-}{+} = -\]

Выражение отрицательное.

Задание 3

Дано: \(\sin{\alpha} = -\frac{3}{5}\), \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\)

Найти: \(\cos{\alpha}\), \(\tan{\alpha}\), \(\operatorname{ctg}{\alpha}\)

Решение:

\[\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha} = 1\]

\[\cos^2{\alpha} = 1 - \sin^2{\alpha} = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\]

\[\cos{\alpha} = \pm \frac{4}{5}\]

Т.к. \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\), то \(\cos{\alpha} > 0\), значит \(\cos{\alpha} = \frac{4}{5}\)

\[\tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\]

\[\operatorname{ctg}{\alpha} = \frac{1}{\tan{\alpha}} = -\frac{4}{3}\]

Задание 4

Найти период функции:

\[y = \sin{3x} + \cos{\frac{x}{2}}\]

Период функции \(\sin{3x}\) равен \(\frac{2\pi}{3}\)

Период функции \(\cos{\frac{x}{2}}\) равен \(4\pi\)

Общий период равен наименьшему общему кратному периодов \(\frac{2\pi}{3}\) и \(4\pi\), то есть \(4\pi\)

Задание 5

Вычислить:

\[\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arcsin{\frac{1}{2}}\]

\[\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}\]

\[\arcsin{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6}\]

\[-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}\]