Вычислите: 45sin690°-8cos²210°+\sqrt{127}ctg660°

Привет! Давай вычислим значение этого выражения вместе. Будем делать все по шагам, чтобы было понятно каждое действие.

Шаг 1: Упрощение углов

Нам нужно упростить углы, используя периодичность тригонометрических функций. Синус и косинус имеют период 360°, котангенс имеет период 180°.

• \( sin(690°) = sin(690° - 360°) = sin(330°) \)
• \( cos(210°) \) уже в пределах одного периода.
• \( ctg(660°) = ctg(660° - 360° - 180°) = ctg(120°) \)

Шаг 2: Вычисление значений тригонометрических функций

• \( sin(330°) = -sin(30°) = -\frac{1}{2} \)
• \( cos(210°) = -cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( ctg(120°) = -ctg(60°) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

Шаг 3: Подстановка значений в исходное выражение

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

\[ 45 \cdot sin(690°) - 8 \cdot cos^2(210°) + \sqrt{127} \cdot ctg(660°) = 45 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 8 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \sqrt{127} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \]

Шаг 4: Упрощение выражения

\[ = -\frac{45}{2} - 8 \cdot \frac{3}{4} - \sqrt{127} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{45}{2} - 6 - \frac{\sqrt{381}}{3} \]

Шаг 5: Приведение к общему знаменателю

\[ = -\frac{45}{2} - \frac{12}{2} - \frac{\sqrt{381}}{3} = -\frac{57}{2} - \frac{\sqrt{381}}{3} \]

Шаг 6: Окончательный результат

Приведем к общему знаменателю 6:

\[ = \frac{-57 \cdot 3 - 2 \sqrt{381}}{6} = \frac{-171 - 2 \sqrt{381}}{6} \]

Ответ:

Ответ: \(\frac{-171 - 2 \sqrt{381}}{6}\)

Вот и все! Мы решили это выражение шаг за шагом. Не бойся сложных задач, у тебя все получится!