7. Вычислите. a) $$\left(15\frac{5}{6}-9\frac{25}{27}\right)-\left(\frac{2}{3}-\frac{5}{18}\right)+\frac{7}{27}+\frac{13}{18}$$.

Решение:

Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

• $$15\frac{5}{6} = \frac{15 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{90 + 5}{6} = \frac{95}{6}$$.
• $$9\frac{25}{27} = \frac{9 \cdot 27 + 25}{27} = \frac{243 + 25}{27} = \frac{268}{27}$$.

Выполним действия в скобках:

• Первая скобка: $$\frac{95}{6} - \frac{268}{27}$$. Приведем дроби к общему знаменателю. НОК (6, 27) = 54. Домножим числитель первой дроби на 9, а числитель второй дроби на 2. Получим: $$\frac{95 \cdot 9}{6 \cdot 9} - \frac{268 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{855}{54} - \frac{536}{54} = \frac{855 - 536}{54} = \frac{319}{54}$$.
• Вторая скобка: $$\frac{2}{3} - \frac{5}{18}$$. Приведем дроби к общему знаменателю. НОК (3, 18) = 18. Домножим числитель первой дроби на 6. Получим: $$\frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{5}{18} = \frac{12}{18} - \frac{5}{18} = \frac{12 - 5}{18} = \frac{7}{18}$$.

Выполним вычитание и сложение:

• $$\frac{319}{54} - \frac{7}{18} + \frac{7}{27} + \frac{13}{18}$$. Приведем дроби к общему знаменателю. НОК (54, 18, 27) = 54. Домножим числитель второй дроби на 3, числитель третьей дроби на 2, числитель четвертой дроби на 3. Получим: $$\frac{319}{54} - \frac{7 \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 2}{27 \cdot 2} + \frac{13 \cdot 3}{18 \cdot 3} = \frac{319}{54} - \frac{21}{54} + \frac{14}{54} + \frac{39}{54} = \frac{319 - 21 + 14 + 39}{54} = \frac{351}{54}$$.

Сократим дробь $$\frac{351}{54}$$. Разделим числитель и знаменатель на 27. Получим: $$\frac{351 : 27}{54 : 27} = \frac{13}{2}$$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанную: $$\frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$$.

Ответ: $$6\frac{1}{2}$$