Вычислите значение выражения: (16/81)^(1/4) - (125/64)^(1/3)

Решение:

Для вычисления значения выражения необходимо применить свойства степеней и корней.

1. Вычисление первой части: \( \left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \) означает найти корень четвёртой степени из \( \frac{16}{81} \). Мы ищем такое число, которое при возведении в четвёртую степень даст \( \frac{16}{81} \).
• \( 2^4 = 16 \)
• \( 3^4 = 81 \)
2. Таким образом, \( \left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{2}{3} \).
3. Вычисление второй части: \( \left(\frac{125}{64}\right)^{\frac{1}{3}} \) означает найти кубический корень из \( \frac{125}{64} \). Мы ищем такое число, которое при возведении в третью степень даст \( \frac{125}{64} \).
• \( 5^3 = 125 \)
• \( 4^3 = 64 \)
4. Таким образом, \( \left(\frac{125}{64}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{5}{4} \).
5. Вычитание результатов: Теперь вычтем второе значение из первого.
• \( \frac{2}{3} - \frac{5}{4} \)
6. Для вычитания дробей приведём их к общему знаменателю, который равен 12.
• \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \)
• \( \frac{5}{4} = \frac{5 \times 3}{4 \times 3} = \frac{15}{12} \)
7. Произведём вычитание:
• \( \frac{8}{12} - \frac{15}{12} = \frac{8 - 15}{12} = \frac{-7}{12} \)

Ответ: \( -\frac{7}{12} \).